2016届高三第一学期期末质量检测

高三数学（文科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2.直线
的倾斜角的大小是( )

A．
B．
C．
D．

4.已知实数
满足
，则
的最小值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

5.设
，则这三个数的大小关系是( )

A．
B．
C．
D．

6.已知命题
；命题
，函数
在
上为减函数，则下列命题为真命题的是( )

A．
B．
C．
D．

7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
，则实数λ=( )

A．
B．
C．-2 D．2

8.若函数
的图象向左平移
个单位，得到的函数图象的对称中心与
图象的对称中心重合，则ω的最小值是( )

A．1 B．2 C．4 D．8

9.函数
的零点的个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

10.已知圆C：
，点P在直线
上，若圆C上存在两点A，B使得
，则点P的横坐标的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11.已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
= .

12.抛物线
上的点（1,2）到其焦点的距离为 .

13.观察下列等式：

……

照此规律，第n个等式为 .

14.某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 .

15.已知直线
与抛物线
交于A、B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线
上，则
.

三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分12分）

已知直线
与直线
是函数
的图象的两条相邻的对称轴.

（1）求
的值；

（2）若
，
，求
的值.

17. （本小题满分12分）

已知等比数列
的前n项和为
，
，公比
，
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和
.

18. （本小题满分12分）

已知关于x的一元二次方程
.

（1）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为a和b，求上述方程有实根的概率；

（2）若从区间中随机取两个数a和b，求上述方程有实根且
的概率.

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，DP=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.

（1）求证：PA//平面EDB；

（2）求证：PB⊥平面EFD.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
上一点与它的左、右两个焦点
的距离之和为
，且它的离心率与双曲线
的离心率互为倒数.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），
的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点.

(i)当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；

(ii)求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程.

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，求证：
在（0，a）上为减函数；

（3）若当
时，
恒成立，求实数a的取值范围.

二○一六届高三第一学期期末质量检测

高三数学（文科）参考答案及评分标准 2016.1

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DDCA AAAC BD

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.

14.
15.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.解：(1)因为直线
、
是函数
图象的两条相邻的对称轴，

所以，函数
的最小正周期
.………………………………2分

所以
，即
.………………………………………5分

又因为
，所以
………………………………………………………6分

(2)由(1)，得
.由题意，
.………………………………7分

由
，得
.从而
.…………………………8分

…………………………10分

………………………………12分

17.解：(1)因为
成等差数列，

所以
.…………………………………………1分

化简得
.……………………………………………………………………3分

所以
. 因为
，所以
.………………………………………4分

故
……………………………………………………6分

(2)
…………8分

可见，
……………………………………………………………10分

………………………………………………………………12分

18.解: （1）判别式
，
和
非负，

．

当
时，方程
有实根的充要条件是
．……………2分

设事件
为“方程
有实根”,

当
时,
; 当
时,
;
,当
时,
．

所以适合
的情况有
种．………………………5分

所求概率为
．……………………………6分

(2)
和
满足的条件为
……………8分

其图形为阴影部分(如图)，即以原点为圆心，6为半径，圆心角

为
的扇形区域. ………………………………………………………………………10分

所求概率为
．…………………………………………………12分

19.证明：（1）连接
，设

因为
是正方形，所以
是线段
的中点.

又
是线段
的中点，

所以
是△
的中位线.…………………………2分

所以
…………………………………………3分

又
平面
，
平面
，所以
平面
.…………4分

注：条件
平面
，或
平面
中少写一个，扣1分.

（2）因为
底面
，所以

又
，
，

所以
平面
…………………………6分

又
平面
，所以
…………7分

在△
中，
，
是
的中点，

所以
………………………………8分

又
，
，所以
平面
………………………10分

所以
……………………………………………………………………11分

又
，
，所以
平面
.………………………12分

20.解：（1）设椭圆的半焦距为

因为双曲线
的离心率为
，

所以椭圆的离心率为
，即
.………………………………………………1分

由题意，得
.解得
……………………………………………………2分

于是
，
.故椭圆的方程为
.……………………3分

（2）（i）设
，则
.

由于点
与点
关于原点对称，所以
.……………………………………4分

故直线
与
的斜率之积为定值
.…………………………………………6分

（ii）设直线
的方程为
.设

由
消去
并整理，得
………………………7分

因为直线
与椭圆交于
两点，所以
…………8分

法一：

………………………………9分

点
到直线
的距离为
.………………………………………………10分

因为
是线段
的中点，所以点
到直线
的距离为

.……………………………11分

令
，则
.

，………………………………………………12分

当且仅当
，即
，亦即
时，
面积的最大值为
.

此时直线
的方程为
.…………………………………………………………13分

法二：由题意，

……………9分

…………………………………………11分

以下过程同方法一.

21.解：(1)对
求导，得
.………………………………………1分

则
.又
，

所以，曲线
在点
处的切线方程为
.…………3分

(2)因为
为增函数，

所以当
时，
.………………………………4分

令
，求导得
.…