天津一中2015-2016高三年级第三次月考数学试卷（理科）

一、选择题：

1、已知全集
则
（ C ）

A．
B．
C．
D．

2、设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 （ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3、设
，则 “
”是“
”的 （ A ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

4、下图是一个算法框图，则输出的
的值是 （ C ）

A． 3 B． 4 C．5 D． 6

5、如图，已知圆中两条弦
与
相交于点
是
延长线上一点，且
，若
与圆相切，且
，则
的长为 （ B ）

A．
B．
C．
D．

6、已知双曲线
的离心率为
，若抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离为
，则抛物线
的方程为 （ D ）

A．
B．
y C．
D．

7、已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若

，
，
，则
的关系为 （?D ）

A．
B．
C．
D．

8、已知函数
，若方程
在区间
内有
个不等实根，则实数
的取值范围是 （?C ）

A．
B．

C．
或
D．
或

二、填空题：

9、复数
(
是虚数单位)是纯虚数，

则实数
的值为 4 ．

10、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图

是等边三角形，该四棱锥的体积等于
．

11、曲线
与直线
及
轴所围成的图形的面积是
．

12、在
的展开式中，
项的系数为
．

13、在
中，
，
，
的面积为4，则
的长为 4或
．

14、已知椭圆
，
为
轴上一个动点，
、
为该椭圆的两条切线，
、
为切点，则
的最小值为
．

15、己知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）当
时，求函数
的最小值和最大值．

解：（1）
的最小正周期为
，单调递增区间为
；

（2）
，
．

16、某学校开设了
五门选修课．要求每位学生必须参加且只能选修一门课程．假设甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．

（1）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数；

（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；

（3）设随机变量
为甲、乙、丙这三名学生参加
课程的人数，求
的分布列与数学期望．

解：（1）甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数为
种

（2）设甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程为实践

(3)
的可能取值为

X

0

1

2

3

















17、如图，在四棱锥
中，
平面
，
，且
，点
在棱
上．（1）求证：
；

（2）若二面角
的大小为
，求
与平面
所成角的正弦值．

解：（1）略；（2）
与平面
所成角的正弦值为

18、设等差数列
的前n项和为
，且
．数列
的前n项和为
，且
，
．（1）求数列
,
的通项公式；

（2）设
， 求数列
的前
项和
．

解：（Ⅰ）由题意，
，得
． …………3分

，
，

，两式相减，得

数列
为等比数列，
． …………6分

（Ⅱ）
．

当
为偶数时，

=
． ……………10分

当
为奇数时，
为偶数，

……………13分

19、如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程； （2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

（3）设点
是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值．

由于点
在椭圆
上，所以
． （*）

由已知
，则
，
，

． ………………7分

由于
，故当
时，
取得最小值为
．

20、设函数
(
是自然对数的底数，
).

（1）若
,求实数
的值，并求函数
的单调区间；

（2）设
，且
，

是曲线
上任意两点，若对任意的
，恒有
成立，求实数
的取值范围；

（3）求证：
.

解：

故
………………………………………………………………………………………（10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
，取
（
）得，
，

即
，累加得：

，………………（14分）