2016届天津市“五校”联考

数学（文） 试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共150分。考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置填涂考号。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试题卷上的无效。祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

本试卷共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知全集
，集合
，
，
等于

A．{－1}　　 　 B．{2}　　　　C．{0,1} D．{－1,2}

2.命题“
≥0”的否定为

A．
＜0　 B．
≥0

C．
≥0　 D．
＜0

3. 右图给出的是计算
的值的一个程序框图，

其中判断框内应填入的条件是

A．
B．
C．
D．

4.若
，则

A.
B．

C．
D．

5.点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为

A.
B.
C.
D.

6. 双曲线
的渐近线与圆
相切，则
=

A．
B.
C.
D.

7.函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将
的图象

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

8.设集合
，
，函数
若
，

且
， 则
的取值范围是

A.(
] B. (
] C.
D.(
)

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.化简复数
的结果是__________.

10.如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图

均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如

图，则该几何体的体积为__________ .

11.函数
的零点的个数是________个

12.在
中，
在
边上，且
，

若
，则
___.

13.如图,以
为直径的圆与
的两边

分别交于
两点，
，则
．

14.已知
，
都是正实数，且满足
则
的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题共13分）

已知
=

（I）求函数
的单调增区间；

（II）在
中，
分别为
内角
的对边，且
，
2，

，求
的面积.

16．（本小题共13分）

某食堂以面食和米食为主食，员工良好的日常饮食应该至少需要碳水化合物5个单位，蛋白质6个单位，脂肪6个单位，每份面食含有7个单位的碳水化合物，7个单位的蛋白质，14个单位的脂肪，花费28元；而每份米食含有7个单位的碳水化合物，14个单位的蛋白质， 7个单位的脂肪，花费21元。为了满足员工的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时采购面食和米食各多少份?

17.（本小题共13分）

如图，正方形
所在平面与平面四边形
所在平面互相垂直，

△
是等腰直角三角形，
.

（I）求证：
；

（II）设线段
、
的中点分别为
、
，

求证：
∥
；

（III）求二面角
的正弦值.

18.（本小题共13分）

数列
的前
项和为
，且
.

（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ）若
设数列
的前
项和
，
,证明:
＜
.

19.（本小题共14分）

已知椭圆
过点
，且离心率
.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且线段
的垂直平分线过定点
，求
的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知函数
其中

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处切线的方程；

（Ⅱ）当
时，求函数
的单调区间；

（III）若
，证明对任意
，
恒成立.

2016届天津市“五校”联考数学（文）答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分。

BDAC BADD

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

(9) -i (10)

(11) 2 (12) 0

(13) 4 (14)

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（Ⅰ）解
=
=

---------------6分

-----------------------13分

16.解：设每天购买面食x 份，米食y份，花费为z，由题意建立二元一次不等式组为

，②目标函数为z=28x+21y，---------------------------6分作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，如右图阴影部分即可行域，
----------------10分如图所示，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小，解方程组
，得M的坐标为
，
，所以，zmin=28x+21y=16，综上所述，每天购买面食
份，米食
份，既能够满足日常要求，又使花费最低，最低成本为16元。--------------------13分







17.解 （Ⅰ）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC
平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC
平面ABCD, BE
平面BCE,

BC∩BE=B

所以

…………………………………………6分

（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN


PC

∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.

∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.

∵ FA=FE,∠AEF=45°,

∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=
,则

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
=
,

,

在Rt⊿FGH中,
——————————————13分

18. （Ⅰ）由Sn+1=3Sn+n+1 ①得

②

①—②得

故 an+1=3an +1。（n≥2）··································（2分）

又 an+1+
=3（an+
），

所以
经检验
成立

故数列{an+
}是等比数列。····································6分

（Ⅱ）由a1=1，得an=
，n∈N*，则

又
①

得
②

—②得

故

所以
，
······························13分

19. 解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率

∴椭圆方程为
……2分

又点
在椭圆上

∴椭圆的方程为
（4分）

（Ⅱ）设

由

消去
并整理得
……6分

∵直线
与椭圆有两个交点

，即
……8分

又

中点
的坐标为
……10分

设
的垂直平分线
方程：

在
上

即
，
……12分

将上式代入得
，

的取值范围为
…………（14分）

20. 解：（Ⅰ）当a=2时，f’(x)=

切线方程为：x+2y+3=0---------------------------------------4分

-----14分

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