宝山区2015学年度第一学期期末

高三年级数学学科教学质量监测试卷

（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.方程
的解集为 .

2.已知:
（
是虚数单位 ），则
= .

3．以
为圆心，且与直线
相切的圆的方程是 ．

4.数列
所有项的和为 ．

5. 已知矩阵A=
，B=
，AB=
，则x+y= ．

6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .

7．若
的展开式中
的系数是-84，则a= ．

8. 抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．

9. 已知
函数
的最小正周期为
，将
的图像向左平移
个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则
的最小值为 ．

10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 ．

11. 向量
，
满足
，
，
与
的夹角为60°，则
.

12. 数列
，则
是该数列的第 项.

13. 已知直线
（其中
为实数）过定点
，点
在函数
的图像上，则
连线的斜率的取值范围是 .

14. 如图，已知抛物线
及两点
和
，其中
.过
，
分别作
轴的垂线，交抛物线于
，
两点，直线
与
轴交于点
，此时就称
，
确定了
.依此类推，可由
，
确定
，.记
，
.

给出下列三个结论：

① 数列
是递减数列；

② 对任意
，
；

③ 若
，
，则
.

其中，所有正确结论的序号是_____．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．

15.如图，该程序运行后输出的结果为…… （ ）

（A）1　　 （B）2　　 （C）4　 （D）16

16. P是
所在平面内一点，若
，其中
，

则P点一定在……（ ）

（A）
内部 （B）AC边所在直线上

（C）AB边所在直线上 （D）BC边所在直线上

17.若
是异面直线，则下列命题中的假命题为

------------------------------------------ （　　）

（A）过直线
可以作一个平面并且只可以作一个平面
与直线
平行；

（B）过直线
至多可以作一个平面
与直线
垂直；

（C）唯一存在一个平面
与直线
等距；

（D）可能存在平面
与直线
都垂直。

18.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）

网络

月租费

本地话费

长途话费



甲：联通130

12元

0.36元/分

0.06元/秒



乙：移动“神州行”

无

0.60元/分

0.07元/秒





若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. ……（ ）

（A）300秒 （B）400秒 （C）500秒 （D）600秒

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务

必写在黑色矩形边框内．

19．（本题满分12分）

在三棱锥
中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥
的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知角
是
的三个内角，
是各角的对边，若向量
,
,且
.

（1）求
的值；

（2）求
的最大值.

21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少
万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列
，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列
，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；







…






3





…



（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知椭圆
上两个不同的点A,B关于直线
对称．

（1）若已知
，
为椭圆上动点，证明：
；

（2）求实数
的取值范围；

（3）求
面积的最大值（
为坐标原点）．

23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知函数
（
为常数，
且
），且数列
是首项为4，

公差为2的等差数列.

(1)求证：数列
是等比数列；

(2) 若
，当
时，求数列
的前
项和
的最小值；

（3）若
，问是否存在实数
，使得
是递增数列？若存在，求出
的范围；若不存在，说明理由．

宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学

参考答案

一．填空题

1.
2.
3．
4． 2

5. 8 6.
7． 1 8.
9.

10.48 11.
12. 128 13.
14. ① ② ③

二．选择题 15.D 16. B 17. D 18.B

三．解答题

19．解：
，所以
，-------------------3分

取PC的中点为D，连结AD，DQ，

则
为异面直线PB，AQ所成的角，--------------------------------5分

，
，------------------------------------7分

因为
，所以
----------------------9分

所以

异面直线PB，AQ所成的角为
。-----------------------12分

20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

解：（1）由
,
，且
，

即
.-----------------------------------------------------2分

∴
,--------------------------------------------------------------------4分

即
,∴
.----------------6分

（2）由余弦定理得
，-----------------8分

而∵
------------------------------------------10分

由
知：
------------------------------------------11分

,

当且仅当
时取等号，-------------------------------------------------------------12分

又
,∴
有最大值
，

所以
的最大值为
.---------------------------------14分

21. 解：（1）




9


8.5

…






3


4.5


6.75

…



--------------------------------------------------------------1分

当
且
时，
；

当
且
时，
．

----------------------------------------------------------4分

而
，

-------------------------------------------------------------7分

（2）当
时，
．---------------8分

当
时，

------------------------------------------------------------11分

由
得
，即
，

解得
--------------------------------------------------------------13分

到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分

22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

解：（1）设
则
, 于是

=

--------------------------------------------------------2分

因
,

所以，当
时，
.即
----------------------------4分

（2）由题意知
，可设直线
的方程为
. ------------------------------5分

由
消去
，得

. --------------------------------------------------------7分

因为直线
与椭圆
有两个不同的交点，

所以,
，

即
①----------------------------8分

将
中点
--------------------------------------------------------9分

代入直线方程
解得
②

由①②得
或
--------------------------------------------------------10分

（3）令
，即
，

则
--------------------------------------------11分

且
到直线
的距离为
-----------------------------------------------12分

设
的面积为
，所以

--------------------------14分

当且仅当
时，等号成立.

故
面积的最大值为
. ----------------