2015学年第一学期高三教学调研 (2015.12)

数 学 试 卷（理工类）

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.

1．函数
的反函数是

2、已知
和
的夹角为
，则

3、幂函数
的图象过点
，则

4、方程
的解为_______________.

5、若直线
的一个法向量
，若直线
的一个方向向量
，则
与
的夹角
= .(用反三角函数表示).

6、直线
交圆
于A、B两点，则

7、已知
且
，则
.

8、无穷等比数列
的前n项和为
，若
，则

9、已知
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 .

10、已知
是
中
的对边， 若
，
的面积为
，则
的周长为 .

11、奇函数
的定义域为R，若
为偶函数，且
，则

12、已知等比数列
的前n项和为
，若
成等差数列，且
，若
，则
的取值范围为 .

13、设
过定点A的动直线
和过定点B的动直线
交于点
，则
的最大值是 .

14、设
表示不超过
的最大整数，如
.给出下列命题：

①对任意的实数
，都有
；

②对任意的实数
，都有
；

③
；

④若函数
，当
时，令
的值域为A，记集合A中元素个数为
，则
的最小值为
.其中所有真命题的序号为 .

选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15、数列
的前n项和为
，则
的值为 （ ）

A、
B、
C、
D、64

16、
是直线
和
平行且不重合的 （ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

17、将
的图象右移
个单位后得到
的图象.若满足
的
，有
的最小值为
，则
的值为 （ ）

A、
B、
C、
D、

18、已知函数
，若对任意
，总有
为某一个三角形的边长，则实数
的取值范围是 （ ）

A、
B、
C、
D、

三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19．（本题共2小题，满分12 分。第1小题满分 6 分，第2小题满分 6分）

公差不为零的等差数列
中，
成等比数列，且该数列的前10项和为100.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前n项和
的最小值.

20．（本题共2小题，满分12 分。第1小题满分 6 分，第2小题满分 6分）

已知
，设函数
.

（1）当
，求函数
的值域；

（2）当
，且
，求
的值.

21．（本题共 2小题，满分 14 分。第1小题满分7 分，第2小题满分7 分）

已知
，不等式
的解集为
，不等式
的解集A；

（1）求集合A；

（2）设函数
的定义域为B，若
，求实数
的取值范围.

22．（本题3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8 分）

已知椭圆
的长轴长与焦距比为
，左焦点
，一定点为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）过
的直线与椭圆交于
两点，设直线
的斜率分别为
，

求证：
；

（3）求
面积的最大值.

23．（本题3小题，满分18分。第1小题6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

对定义在
上的函数
如果同时满足以下三个条件：

①对任意
，总有

②

③若
，有
成立，

则称函数
为理想函数.

（1）判断
是否为理想函数，并说明理由；

（2）若
为理想函数，求
的最小值和最大值；

（3）若
为理想函数，假设存在
满足

求证：
.

2015学年第一学期高三教学调研(2015.12)

数学试卷参考答案与评分标准（理科）

一、填空题(本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.

1、
； 2、 1 ； 3、2 ； 4、4； 5、
；6、2；

7、
； 8、4 ；9、
；10、20 ；11、-1；12、
；

13、5； 14、①②④.

二、选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

　　15、A； 16、C ； 17、B； 18、D

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19．（本题共2小题，满分12 分。第1小题满分 6 分，第2小题满分 6分）

公差不为零的等差数列
中，
成等比数列，且该数列的前10项和为100.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前n项和
的最小值.

解：（1）设公差为
，由
成等比数列，得
，推出
①

由前10项和为100，得
②，解①②得

所以：
（6分）

（2）由
，得
，因数列
是单调递增，所以：当
时，
；当
时，
，

因此：
的最小值为
（6分）

20．（本题共2小题，满分12 分。第1小题满分 6 分，第2小题满分 6分）

已知
，设函数
.

（1）当
，求函数
的值域；

（2）当
，且
，求
的值.

解:

（1）当
，得：
，得：

得
，所以函数
的值域为
（6分）

（2）由
，得
，

因
，推出
，所以
，

因
（6分）

21．（本题共 2小题，满分 14 分。第1小题满分7 分，第2小题满分7 分）

已知
，不等式
的解集为
，不等式
的解集A；

（1）求集合A；

（2）设函数
的定义域为B，若
，求实数
的取值范围.

解：（1）不等式
的解集为
，等价于
的解集为
，

得
，不等式
等价于不等式
，

解不等式
得解集：
（7分）

（2）集合
，因
，所以不等式
在
上有解，得
在
上有解，

令
，得
，所以：
为所求.（7分）

22．（本题3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8 分）

已知椭圆
的长轴长与焦距比为
，左焦点
，一定点为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）过
的直线与椭圆交于
两点，设直线
的斜率分别为
，

求证：
；

（3）求
面积的最大值.

解：（1）因
，又
，得
，所以E方程为
(4分)

（2）设过
的直线为
交椭圆E于

由
得：

由题意：
，得
，且
，

因

而

所以：
得证. （6分）

（3）由（2）点F到直线
的距离为
且
，

所以：
的面积

令
得：

所以当
时，
取最大值为
（8分）

23．（本题3小题，满分18分。第1小题6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

对定义在
上的函数
如果同时满足以下三个条件：

①对任意
，总有

②

③若
，有
成立，

则称函数
为理想函数.

（1）判断
是否为理想函数，并说明理由；

（2）若
为理想函数，求
的最小值和最大值；

（3）若
为理想函数，假设存在
满足

求证：
.

解：（1）
为理想函数，

理由：因
为单调递增函数，且
，所以
满足条件①；因
满足条件②；当
时，

满足条件③，所以
为理想函数 （6分）

（2）由条件①

由条件③
得

所以
得
的最小值为0

因
，得