2015学年第一学期高三教学调研 (2015.12)

数 学 试 卷（文史类）

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚.

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.

1．函数
的反函数是

2、已知
和
的夹角为
，则

3、幂函数
的图象过点
，则

4、方程
的解为_______________.

5、不等式
的解集为____ ______6、若直线
的一个法向量
，若直线
的一个方向向量
，则
与
的夹角
= .(用反三角函数表示).

7、直线
交圆
于A、B两点，则

8、已知
且
，则
.

9、无穷等比数列
的前n项和为
，若
，则

10、已知
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 .

11、已知
是
中
的对边， 若
，
的面积为
，则
的周长为 .

12、奇函数
的定义域为R，若
为偶函数，且
，则

13、已知等比数列
的前n项和为
，若
成等差数列，且
，若
，则
的取值范围为 .

14、设
表示不超过
的最大整数，如
.给出下列命题：

①对任意的实数
，都有
；

②对任意的实数
，都有
；

③
；

④若函数
，当
时，令
的值域为A，记集合A中元素个数为
，则
的最小值为
.其中所有真命题的序号为 .

选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.

15、数列
的前n项和为
，则
的值为 （ ）

A、
B、
C、
D、64

16、
是直线
和
平行且不重合的 （ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

17、将
的图象右移
个单位后得到
的图象，若满足
的
，有
的最小值为
，则
的值为 （ ）

A、
B、
C、
D、

18、已知函数
，若对任意
，总有
为某一个三角形的边长，则实数
的取值范围是 （ ）

A、
B、
C、
D、

三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19．（本题共 2小题，满分12分。第1小题满分6分，第2小题满分6分）

公差不为零的等差数列
中，
成等比数列，且该数列的前10项和为100.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前n项和
的最小值.

20．（本题共2小题，满分12分。第1小题满分6分，第2小题满分6分）

已知函数
.

（1）当
时，求函数
的最小值；

（2）试讨论函数
的奇偶性，并说明理由.

21. （本题共 2小题，满分 14分。第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知
，设函数
.

（1）当
，求函数
的值域；

（2）当
，且
，求
的值.

22．（本题3小题，满分18分。第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知二次函数
的定义域为
恰是不等式
的解集，其值域为
.函数
的定义域为
，值域为
.

（1）求函数
定义域为
和值域
；

（2）是否存在负实数
，使得
成立？若存在，求负实数
的取值范围；若不存在，请说明理由；

（3）若函数
在定义域
上单调递减，求实数
的取值范围.

23．（本题共3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知椭圆E的长轴长与焦距比为
，左焦点
，一定点为
.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过
的直线与椭圆交于
两点，设直线
的斜率分别为
，

求证：
；

（3）求
面积的最大值.

2015学年第一学期高三教学调研(2015.12)

数学试卷参考答案与评分标准（文科）

一、填空题(本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.

1、
； 2、 1 ； 3、2 ； 4、4； 5、
；

6、
； 7、2； 8、
； 9、4 ； 10、
； 11、20； 12、-1 ；

13、
；14、①②④.

二、选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

　　15、A； 16、C ； 17、B；18、D

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

19．（本题共2小题，满分12 分。第1小题满分 6 分，第2小题满分 6分）

公差不为零的等差数列
中，
成等比数列，且该数列的前10项和为100.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前n项和
的最小值.

解：（1）设公差为
，由
成等比数列，得
，推出
①

由前10项和为100，得
②，解①②得

所以：
（6分）

（2）由
，得
，因数列
是单调递增，所以：当
时，
；当
时，
，

因此：
的最小值为
（6分）

20．（本题共2小题，满分12分。第1小题满分6分，第2小题满分6分）

已知函数
.

（1）当
时，求函数
的最小值；

（2）试讨论函数
的奇偶性，并说明理由.

解：（1）当
时，函数
，

当
时，
，所以当
时
取得最小值，最小值为1

当
时，
，所以当
时
取得最小值，最小值
，

综上，
最小值为
. (6分)

（2）当
时，
为偶函数;

当
时，因
，

得：
且

所以
为非奇非偶函数

综上，当
时，
为偶函数；

当
时，
为非奇非偶函数 （6分）

21. （本题共 2小题，满分 14分。第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知
，设函数
.

（1）当
，求函数
的值域；

（2）当
，且
，求
的值.

解:

（1）当
，得：
，得：

得
，所以函数
的值域为
（7分）

（2）由
，得
，

因
，推出
，所以
，

因
（7分）

22．（本题3小题，满分18分。第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知二次函数
的定义域为
恰是不等式
的解集，其值域为
.函数
的定义域为
，值域为
.

（1）求函数
定义域为
和值域
；

（2）是否存在负实数
，使得
成立？若存在，求负实数
的取值范围；若不存在，请说明理由；

（3）若函数
在定义域
上单调递减，求实数
的取值范围.

解：（1）因不等式
等价于不等式
，解不等式
得：

因
，所以
（6分）

（2）假设存在负实数
，使得
成立.

因
，
在
上为增函数，值域
.

因
得：
，解得：

所以，存在负实数
，使得
成立，且
的取值范围为
（6分）

（3）设
，因
在定义域
上单调递减，

所以
恒成立.

因
等价于

又
，
等价于

因
，所以

所以
，即
（6分）

23．（本题3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 8 分）

已知椭圆
的长轴长与焦距比为
，左焦点
，一定点为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）过
的直线与椭圆交于
两点，设直线
的斜率分别为
，

求证：
；

（3）求
面积的最大值.

解：（1）因
，又
，得
，所以E方程为
(4分)

（2）设过
的直线为
交椭圆E于

由
得：

由题意：
，得
，且
，

因

而

所以：
得证. （6分）

（3）由（2）点F到直线
的距离为