2016年广州市普通高中毕业班模拟考试

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）若全集U=R，集合
，
，则
＝

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知
，
是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）下列说法中正确的是

（A）“
”是“函数
是奇函数”的充要条件

（B）若
，则

（C）若
为假命题，则
，
均为假命题

（D）命题“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

（4）已知
在
上是奇函数,且满足
,当
时,
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）执行如图所示的程序框
图
，输出的结果为

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）各项均为正数的等差数列
中，
，则前12项和
的最小值为

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2

的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个

几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知
，且
，函数
的图像

的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）若实数
满足约束条件
则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）过双曲线
的一个焦点
作一条渐近线的垂线，垂足为点
，与另一条渐近线交于点
，若
，则此双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）2 （D）

（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1

人，则不同的保送方法共有

（A） 150种 （B） 180种 （C） 240种 （D）540种

（12）已知
的三个顶点
，
，
的坐标分别为
，O为坐标原点，动点
满足
，则
的最小值是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）已知向量
，
满足
，
在
方向上的投影是
，则
．

（14）已知
，则
．

（15）
展开式中的常数项为
，则
．

（16）已知
为R上的连续可导函数，且
，则函数

的零点个数为___________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

设
为数列
的前
项和，已知
，对任意
，都有
．

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ）若数列
的前
项和为
,求证：
.

（18）(
本小题满分12分)

如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，

分别是线段
的中点，过线段
的中点
作
的平行线，分别交
，
于点
，
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量
(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系；

年入流量









发电机最多可运行台数

1

2

3



若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，已知椭圆

的离心率
，且椭圆
上一点
到点
的距离的最大值为4．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
，
为抛物线
上一动点，过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
，
两点，求
面积的最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
（
为自然对数的底数，
为常数）在点
处的切线斜率为
.

（Ⅰ）求
的值及函数
的极值；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（III）证明：对任意给定的正数
，总存在
，使得当
，恒有
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图
，
于点
，以
为直径的圆
与
交于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，点
在线段
上移动，
,

与
相交于点
，求
的最大值．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知曲线
：
（
为参数）与曲线
：
(
为参数，
)．

（Ⅰ）若曲线
与曲线
有一个公共点在x轴上，求
的值；

（Ⅱ）当
时，曲线
与曲线
交于
，
两点，求
，
两点的距离．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知定义在R上的函数
，
，存在实数
使
成立．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
，
，求证：
．

2016年广州市普通高中毕业班模拟考试

理科数学答案及评分参考

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一．选择题

（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D

（7）A （8）B （9）B （10）C （11）A （12）A

二．填空题

（13）2 （14）
（15）
或
（16）0

（其中第15题中，答对2个给5分，答对1个给3分）

三．解答题

（17）证明：（Ⅰ）因为
，

当
时，
，

两式相减，得
，

即
，

所以当
时，
.

所以
.

因为
，所以
.

（Ⅱ）因为
，
，
，

所以
．

所以

．

因为
，所以
．

因为
在
上是单调递减函数，

所以
在
上是单调递增函数．

所以当
时，
取最小值