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新课标2016年高三数学寒假作业1

一、选择题.

1.设集合 A={1，2，4}，B={a，3，5}，若 A∩B={4}，则 A∪B=( )

A．{4} B．{1，2，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．{a，1，2，3，4，5}

2.设0＜a＜1，则函数y=
的图象大致为( )

A．
B．
C．
D．

3.已知函数f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n），则a1+a2+a3+…+a100=( )

A．0 B．100 C．5050 D．10200

4.对于函数f（x）=tan2x，下列选项中正确的是( )

A．f（x）在（﹣
，
）上是递增的 B．f（x）在定义域上单调递增

C．f（x）的最小正周期为π D．f（x）的所有对称中心为（
，0）

5.若
，则向量
与
的夹角为( )

A．
B．
C．
D．

6.直线x+my+1=0与不等式组
表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )

A．[
，
] B．[﹣
，﹣
] C．[
，3] D．[﹣3，﹣
]

7.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为( )

A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？

8.f（x）=
x3﹣x2+ax﹣1己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为( )

A．（3，+∞） B．（3，
） C．（﹣∞，
] D．（0，3）

9.若双曲线
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为( )

A．
B．
C．2 D．

10.设点P是曲线
上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

二．填空题.

11.函数y=lg（1﹣
）+
的定义域是 ．

12.若
，且tanx=3tany，则x﹣y的最大值为 ．

13.设向量
，
，
满足|
≥60°，则|
|的最大值等于 ．

14.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且
的值为 ．

三、解答题.

15.已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；

（Ⅱ）求使B?A的实数a的取值范围．

16.数列{an}满足a1=2，Sn=nan﹣n（n﹣1）

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn．

17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
，a=5，△ABC的面积为
．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求
的值．

【KS5U】新课标2016年高三数学寒假作业1

1.C

【考点】交集及其运算；并集及其运算．

【专题】计算题；集合．

【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值，进而确定出B，找出两集合的并集即可．

【解答】解：∵A={1，2，4}，B={a，3，5}，且A∩B={4}，

∴a=4，即B={3，4，5}，

则A∪B={1，2，3，4，5}，

故选：C．

【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2.B

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用0＜a＜1，判断ax，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解ax﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．

【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜ax＜1，﹣1＜ax﹣1＜0，
＜﹣1，

x＜0时，ax＞1，ax﹣1＞0，
＞0，

观察函数的图象可知：B满足题意．

故选：B．

【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．

3.C

【考点】数列的求和．

【分析】先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解．

【解答】解：∵f（n）=n2cos（nπ）=
=（﹣1）n?n2，

且an=f（n），

∴a1+a2+a3+…+a100=22﹣12+42﹣32+62﹣52+…+1002﹣992

=1+2+3+4+5+6+…+99+100

=

=5050．

故选C．

【点评】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能力．

4.D

【考点】正切函数的周期性；正切函数的奇偶性与对称性．

【专题】计算题；数形结合；三角函数的图像与性质．

【分析】求出函数的周期，判断A、C的正误；正切函数的单调性判断B的正误；求出对称中心判断D的正误；

【解答】解：x=﹣
时，函数没有意义，A不正确；

正切函数在定义域上不是单调函数，B不正确；

函数f（x）=tan2x的周期为：
，所以C不正确；

（
，0）是函数的对称中心，所以D正确．

故选：D．

【点评】本题考查正弦函数的简单性质的应用，考查计算能力．

5.B

【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．

【专题】平面向量及应用．

【分析】将已知式子平方可得
=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．

【解答】解：∵
，

∴
，两边平方

可得
=
，

化简可得
=0，

设向量
与
的夹角为θ

则可得cosθ=
=

=
=
，又θ∈[0，π]，故θ=

故选B．

【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题．

6.D

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．

【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）

作出不等式组对应的平面区域如图：

当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，

故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=
x
，

斜率k=
，

要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，

即k=
＞0，即m＜0，满足kCD≤k＜kAB，

此时AB的斜率kAB=2，

由
解得
，即C（2，1），

CD的斜率kCD=
=
，

由
，解得
，即A（2，4），

AD的斜率kAD=
=
，

即
≤k≤
，

则
≤
≤
，

解得﹣3≤m≤﹣
，

故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

7.A

【考点】程序框图．

【专题】算法和程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．

【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：

K S 是否继续循环

循环前 1 1/

第一圈 2 4 是

第二圈 3 11 是

第三圈 4 26 是

第四圈 5 57 否

故退出循环的条件应为k＞4

故答案选A．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

8.B

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用．

【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．

【解答】解：f（x）=
x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，

由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，

则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=
（a﹣3）＞0，

解得3＜a＜
．

故选B．

【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．

9.B

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由于双曲线
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．

【解答】解：取双曲线的渐近线y=
x，即bx﹣ay=0．

∵双曲线
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2=1相切，

∴圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，

∴
=1，化为2b=c，

两边平方得c2=4b2=4（c2﹣a2），化为3c2=4a2．

∴e=
=

故选：B．

【点评】本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

10.C

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．

【专题】计算题．

【分析】求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，求出α的范围即可．

【解答】解：∵y′=3x2﹣
≥﹣
，∴tanα≥﹣
，

又∵0≤α≤π，

∴0≤α＜
或
．

则角α的取值范围是[0，
）∪[
，π）．

故选C．

【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．

11.[log23，+∞）

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，则
，

即
，

∴x≥log23，

即函数的定义域为[log23，+∞），

故答案为：[log23，+∞）

【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．

12.

【考点】两角和与差的正切函数．

【专题】计算题．

【分析】先用两角差的正切公式，求一下tan（x﹣y）的值，然后再由已知代换，利用均值不等式求得tan（x﹣y）的最大值，从而得到结果．

【解答】解：因为
，x﹣y∈（0，
），且tanx=3tany，

所以tan（x﹣y）=

=

=

≤

=

=tan
，当且仅当3tan2y=1时取等号，

∴x﹣y的最大值为：
．

故答案为：
．

【点评】本题是中档题，考查两角和与差的正切函数的应用，基本不等式的应用，注意角的范围，考查计算能力．

13.2

【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．

【专题】计算题．

【分析】利用向量的数量积求出
，
的夹角；利用向量的运算法则作出图形；结合图形利用四点共圆；通过正弦定理求出外接圆的直径，求出|
|最大值．

【解答】解：
∵|
|=|
|=1，
?
=﹣

∴
，
的夹角为120°，

设 OA=
，OB=
，OC=
则
=
﹣
；
=
﹣

如图所示

则∠AOB=120°；∠ACB=60°

∴∠AOB+∠AOC=180°

∴A，O，B，C四点共圆

∵
=
﹣

∴
2=
2﹣2
?
+
2=3

∴AB=
，

由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
=2

当OC为直径时，|
|最大，最大为2

故答案为：2．

【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．

14.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由
=
，得
=
，由它们的侧面积相等，得
=
，由此能求出
．

【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，

∵
=
，∴
=
，

∵它们的侧面积相等，∴
=1，

∴
=
，∴
=
=（
）2×
=
．

故答案为：
．

【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．

15.

【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．

【专题】分类讨论；分类法；集合．

【分析】由已知中集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，我们先对a进行分类讨论后，求出集合A，B，再由B?A，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围

【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣4＜x＜5}，

∴A∪B={x|﹣5＜x＜5}．

（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a2+1}

当
时，2＞3a+1，A={x|3a+1＜x＜2}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

要使B?A必须

此时a=﹣1，

当
时，A=?，使 B?A的a不存在；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当
时，2＜3a+1，A={x|2＜x＜3a+1}要使B?A

必须
，

故 1≤a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

综上可知，使的实数a的取值范围为[1，3]∪{﹣1}．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

【点评】本题考查集合的基本运算，集合关系中的参数取值问题，考查计算能力，分类讨论思想的应用

16.【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】计算题；探究型；转化思想；等差数列与等比数列．

【分析】（1）由已知求出Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）（n﹣2），两式相减得an=an﹣1+2，则数列{an}的通项公式an可求；

（2）由an=2n，代入bn=
，得到bn=
，进一步可求出Tn．

【解答】解：（1）n≥2时，Sn=nan﹣n（n﹣1），

∴Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）（n﹣2）．

两式相减得an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣2（n﹣1），则（n﹣1）an=（n﹣1）an﹣1+2（n﹣1），

∴an=an﹣1+2．

∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列．

∴an=2n；

（2）由（1）知an=2n，

∴bn=
=
．

∴Tn=
=
．

【点评】本题考查了数列的通项公式以及数列的前n项和，考查了数列递推式，属于中档题．

17.【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．

【专题】计算题；解三角形．

【分析】（Ⅰ）直接利用三角形的面积公式求解b，利用余弦定理求解c的值；

（Ⅱ）通过余弦定理求出B的余弦值，利用同角三角函数的基本关系式求出B的正弦函数值，利用两角和与差的余弦函数求
的值．

【解答】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知，
，a=5，

因为
，

即
，

解得 b=8．

由余弦定理可得：
，

所以 c=7．…..

（Ⅱ）由（Ⅰ）有
，

由于B是三角形的内角，

易知
，

所以
=
=
．…..（13分）

【点评】本题考查余弦定理以及三角形面积公式的应用，同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．

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