2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷（理）

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．
____________．

2．设集合
，
，则
__________．

3．若函数
（
且
）的反函数的图像过点
，则
_________．

4．已知一组数据
，
，
，
，
的平均数是
，则这组数据的方差是_________．

5．在正方体
中，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成的

角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．

6．若圆锥的底面周长为
，侧面积也为
，则该圆锥的体积为______________．

7．已知
，则
_________．

8．某程序框图如图所示，则该程序运行后

输出的
值是_____________．

9．过点
的直线与圆
相切，且与直线
垂直，则实数
的值

为___________．

10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传

给另外两人中的任何一人．经过
次传球后，球仍在甲手中的概率是__________．

11．已知直角梯形
，
∥
，
．
，
，
是腰

上的动点，则
的最小值为__________．

12．已知
，若
，则
________．

13．对一切实数
，令
为不大于
的最大整数，则函数
称为取整函数．若

，
，
为数列
的前
项和，则
__________．

14．对于函数
，若存在定义域
内某个区间
，使得
在
上的

值域也是
，则称函数
在定义域
上封闭．如果函数

（
）在
上封闭，那么实数
的取值范围是______________．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“函数
为偶函数”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．下列四个命题：

①任意两条直线都可以确定一个平面；

②若两个平面有
个不同的公共点，则这两个平面重合；

③直线
，
，
，若
与
共面，
与
共面，则
与
共面；

④若直线
上有一点在平面
外，则
在平面
外．

其中错误命题的个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

17．已知圆
过定点
，圆心
在抛物线
上运动，若
轴截圆
所得的弦

为
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

18．已知数列
的通项公式为
，则数列
（ ）

A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项

C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为

的正方形，高为

，内有

深的溶液．现将此容器倾斜一定角度
（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角
的最大值是多少；

（2）现需要倒出不少于

的溶液，当
时，能实现要求吗？请说明理由．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知
，设
，
，记函数
．

（1）求函数
取最小值时
的取值范围；

（2）设△
的角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
，
，求△
的面积
的最大值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

设函数
（
且
）是奇函数．

（1）求常数
的值；

（2）若
，且函数
在区间
上的最小值为
，求实数
的值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

在平面直角坐标系
内，动点
到定点
的距离与
到定直线
的距离之比为
．

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）若轨迹
上的动点
到定点
（
）的距离的最小值为
，求
的值．

（3）设点
、
是轨迹
上两个动点，直线
、
与轨迹
的另一交点分别为
、
，且直线
、
的斜率之积等于
，问四边形
的面积
是否为定值？请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设复数
，其中

，
，
为虚数单位，
，
，复数
在复平面上对应的点为
．

（1）求复数
，
，
的值；

（2）是否存在正整数
使得
∥
？若存在，求出所有满足条件的
；若不存在，请说明理由；

（3）求数列
的前
项之和．

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷（理）参考答案及评分标准

一．填空题（每题4分，满分56分）

1．
2．
（或
） 3．
4．

5．
6．
7．
8．

9．
10．
11．

12．
13．
14．

二．选择题（每题5分，满分20分）

15．B 16．C 17．A 18．C

三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数

19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．

（1）如图③，当倾斜至上液面经过点
时，容器内溶液恰好不会溢出，

此时
最大． …………………………………………………………………（2分）

解法一：此时，梯形
的面积等于
（
）， ………………（3分）

因为
，所以
，
，

即
，解得
，
． ………………（5分）

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，
的最大值是
． ……………（6分）

解法二：此时，△
的面积等于图①中没有液体部分的面积，

即
（
）， ……………………………………………………（3分）

因为
，所以
，即
，

解得
，
． …………………………………………（5分）

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，
的最大值是
． …………（6分）

（2）如图④，当
时，设上液面为
，因为
，

所以点
在线段
上， ………………………………………………………（1分）

此时
，
，

（
）， ………………………………………（3分）

剩余溶液的体积为
（
）， …………………………（4分）

由题意，原来溶液的体积为

，

因为
，所以倒出的溶液不满

． …………（5分）

所以，要倒出不少于

的溶液，当
时，不能实现要求．……（6分）

20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．

（1）

． ………………………………………………………（3分）

当
取最小值时，
，
，
，……（6分）

所以，所求
的取值集合是
． …………………（7分）

（2）由
，得
， …………………………（1分）

因为
，所以
，

所以
，
． ……………………………………（3分）

在△
中，由余弦定理
， ………………（4分）

得
，即
， …………………………（5分）

所以△
的面积
， ……………（6分）

因此△
的面积
的最大值为
． ……………………（7分）

21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．

（1）解法一：函数
的定义域为
，因为
是奇函数，所以
，
． …………………………………………………………（3分）

当
时，
，
，
是奇函数．

所以，所求
的值为
． ………………………………………………………（6分）

解法二：函数
的定义域为
，

由题意，对任意
，
， ……………………………………（2分）

即
，
， …………………………（4分）

因为
，所以，
． ………………………………………………（6分）

（2）由
，得
，解得
或
（舍）． …………（2分）

所