上饶中学2015－2016学年高三上学期第二次月考

数 学 试 卷（文科）

考试时间：120分钟 分值：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．“
”是“曲线
过坐标原点”的（ ）

A.充分且不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2．已知
（
为虚数单位），则复数
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知等比数列前
项和为
，若
,
，则
（ ）

A．52 B．
C．
D．

4．已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 （ ）

A.
B.

C.
D.

6．已知平面
，
是
内不同于
的直线，那么下列命题中错误的是 （ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

7．已知三点
、
、
，则向量
在向量
方向上的投影为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10．函数
满足
，那么函数
的图象大致为（ ）

11．在正项等比数列{an}中，存在两项
，使得
＝4
，且
，则
的最小值是 （ ）

A．
B．1＋
C．
D．

12．对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（ ）

A．f（x）=8（x∈R）不是“可构造三角形函数”

B．“可构造三角形函数”一定是单调函数

C．f（x）=
是“可构造三角形函数”

D．若定义在R上的函数f（x）的值域是
（e为自然对数的底数），则f（x）一定是“可构造三角形函数”

二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）

13．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为
，则
．

14．若变量
满足
，则
的最大值为 ．

15．函数
，
，
，
，对任意的
，总存在
，使得
成立，则
的取值范围为 ．

16．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD=
,BD
CD,将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体
，使平面
平面BCD，则下列结论正确的是 ．

1.
； 2.
；

3.四面体
的体积为
； 4.
与平面
所成的角为
．

三、 解答题：（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）如图，正方形
的边长为1，正方形
所在平面与平面
互相垂直，
是
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

18．（本小题满分12分）已知函数
．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，满足f（A）=1

（Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若sinB=3sinC，△ABC面积为
．求a边的长．

19．（本小题满分12分） 设集合
，
．

（1）当
时，求A的非空真子集的个数；

（2）若
，求实数m的取值范围。

20．（本小题满分12分）已知数列
是公差不为零的等差数列，
，且
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足：
，
，令
，
，求数列
的前
项和
．

21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
，
平面
，
平面
，
，
，
．

（1）求棱锥
的体积；

（2）求证：平面

平面
；

（3）在线段
上是否存在一点
,使
平面
？若存在,求出
的值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）己知函数

（1）若
，求函数
的单调递减区间;

（2）若关于x的不等式
恒成立，求整数 a的最小值：

（3）若
，正实数
满足
，证明：

上饶中学2016届高三年级第二次月考文科数学试卷

： 参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

A

B

B

D

B

D

B

C

C

D





13 4 ． 14． 8 ．

15．
． 16．（2） （3）

17．（1）证明：∵ G、H分别是DF、FC的中点，

∴
中，GH∥CD

∵CD
平面CDE，

∴GH∥平面CDE 5分

（2）解：依题意：点G到平面ABCD的距离
等于点F到平面ABCD的一半，

即：
．

∴
． 10分

18解：（Ⅰ）

由
，得到
，

即
， ∵
为三角形的内角，

∴
，即
6分

（Ⅱ）利用正弦定理化简
得：
，

∵
， 即
，

解得：
， ∴
，

由余弦定理得：
，

则
12分

19．解：化简集合A=
，集合
．

（1）
,即A中含有8个元素，
A的非空真子集数为
个． 5分

（2）①m= －2时，
； 7分

②当m<－2 时，
，所以B=
,因此，要
，则只要
，所以m的值不存在； 9分

③当m>－2 时, B=（m-1,2m+1）,

因此，要
，则只要
. 11分

综上所述，知m的取值范围是：m=－2或
12分

20． 解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，

∵
，且
成等比数列，∴
，即
，

解得
（舍）或
，

∴ 数列
的通项公式为
，即
； 5分

（Ⅱ）由
，

（
）

两式相减得
，即
（
）， 8分

则
，
，

所以
， 10分

则
．

21．解：（1）在
中，
，∵
平面
，

∴棱锥
的体积为
； 4分

（2）∵
平面
，
平面
，

∴
，又∵
，
，∴
平面
，又∵
平面
， ∴平面

平面
； 8分

（3）结论：在线段
上存在一点
，且
，使
平面
，设
为线段
上一点, 且
，过点
作
交
于
，则
，∵
平面
，
平面
，∴
，又∵
，∴
，
，∴四边形
是平行四边形，则
，又∵
平面
，
平面
，∴
平面
．

22．解：（1）因为
，所以
，

此时
，

由
，得
， 又
，所以
．

所以
的单调减区间为
． 4分

（2）方法一：令
，

所以
．

当
时，因为
，所以
． 所以
在
上是递增函数，

又因为
，

所以关于
的不等式
不能恒成立．

当
时，
，

因此函数
在
是增函数，在
是减函数．

故函数
的最大值为
．

令
，因为
，
，又因为
在
是减函数． 所以当
时，
． 所以整数
的最小值为2． 8分

方法二：（2）由
恒成立，得
在
上恒成立，

问题等价于
在
上恒成立．令
，只要
．

因为
，令
，得
．

设
，因为
，所以
在
上单调递减，

不妨设
的根为
．所以
在
上是增函数；在
上是减函数．

所以．

因为
，
所以
，此时
，即
． 所以
，即整数
的最小值为2． 8分

（3）当
时，

由
，即

从而
令
，则由
得，
可知，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．

所以
， 所以
，因此
成立 12分．

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