江苏省扬州中学高三数学质量检测试卷2015．12

一、填空题

1．已知集合
，
，则
等于 ．

2．已知虚数
满足
，则
．

3．抛物线
的准线方程为 ．

4．角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
的值是 ．

5.设函数f (x)＝cos(ωx＋φ)，对任意x∈R都有f ＝f ，若函数g(x)＝3sin(ωx＋φ)－2，则g ()的值为_________．

6.“
”是“
”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

7.若
为等差数列
的前
项和,
则
与
的等比中项为___.

8.设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则f ?(1)＝__________．

9．若实数
满足
，则
的最大值为_________.

10.在边长为1的正
中，向量


，且

则
的最大值为________.

11.已知
是定义在
上的奇函数，且
当
时，

则
_________.

12. 已知直线
ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．

13．已知抛物线
和
所围成的封闭曲线，给定点
，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点
对称，则实数
的取值范围是 .

14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 ．

二、解答题：

15．(本小题满分14分)

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.

（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF；

（2）求证：EF//平面ABCD.

16. (本小题满分14分) 已知向量m＝，n＝.

(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a， b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．

17．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：
的离心率为
，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：
相切于点M.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求|PM|·|PF|的取值范围；

（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.

18. (本小题满分16分)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段
关于坐标轴或原点对称，线段
的方程为
，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点
处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N
测得汽笛声的时刻晚
（设海面上声速为
）。若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）

（I）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？

（II）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。

19．（本小题满分16分）

对于函数
，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数
和
在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数

,
.

（1）当
,
时, 判断函数
和
是否相切？并说明理由；

（2）已知
，
，且函数
和
相切，求切点P的坐标；

（3）设
，点P的坐标为
，问是否存在符合条件的函数
和
，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为
呢？（结论不要求证明）

20.(本小题满分16分）

在数列
中，
，且对任意的
,
成等比数列，其公比为
．

（1）若
=2(
)，求
；

（2）若对任意的
，
，
，
成等差数列，其公差为
，设
．

① 求证：
成等差数列，并指出其公差； ②若
=2,试求数列
的前
项的和
．

数 学Ⅱ
(附加题)

1.已知矩阵
的一个特征值是3，求直线
在
作用下的直线方程.

2.已知直线
经过点
，倾斜角
．

（1）写出直线
的参数方程；

（2）设
与圆
相交与两点
，求点
到
两点的距离之积．

3．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设
为随机变量，若
为整数，则
；若
为小于1的分数，则
；若
为大于1的分数，则
．

（1）求概率
；

（2）求
的分布列，并求其数学期望
．

4.已知
展开式的各项依次记为
设函数

若
的系数依次成等差数列，求正整数
的值；

求证：
恒有

高三数学质量检测试卷参考答案及评分标准 2015.12

1．
2．
3．
4．
5.－2

6.必要不充分 7.
8.2 9．
10.

11.0 12. (3－2
)π 13.
14．92．【解析】易知d=0，成立．

当d>0时，

又

，
，所以公差d的所有可能取值之和为92．

15．（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD，又∵AB⊥AE，

∴AE⊥CD又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD、CF
平面CDEF，∴AE⊥平面CDEF，又∵AE
平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF………7分

（2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD

又∵AB
平面CDEF，CD
平面CDEF，∴AB//平面CDEF

又∵AB
平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，∴AB//EF

又∵EF
平面ABCD，AB
平面ABCD，∴EF//平面ABCD.………14分

17.（1）
…………2分

∴c=1，a=2，∴
，∴椭圆方程为
…………4分

（2）设
，则

PM=
，………………6分

PF=
…………8分 ∴PM·PF=
，

∵
，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分

（3）法一：①当PM⊥x轴时，P
，Q
或
，

由
解得
……………………12分

②当PM不垂直于x轴时，设
，PQ方程为
，即

∵PQ与圆O相切，∴
，∴

∴

………………13分

又
，所以由
得
……14分

∴

=
=12，∴
……16分

法二：设
，则直线OQ：
，∴
，

∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ

∴
………12分

∴

∴
，∴
………………14分

∵
，∴
，∴
，∴
……………16分

18.（1）设轮船所在的位置为
，由题意可得
。
，

故点
的轨迹是以
为焦点的双曲线的右支。

设点
的轨迹方程为

则

兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是
（

（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。

设直线
的方程为
。

当
时，设
与双曲线右支、直线
分别交于点
，

则
，

点
在点
的左侧，
船不可能进入暗礁区。

当
时，设
与双曲线右支、直线
分别交于点
，

则
，

在点
的右侧，
船不可能进入暗礁区。

综上，在
轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾。

19.（1）结论：当
,
时,函数
和
不相切.…1分

理由如下：由条件知
，由
，得
， 又因为
，
，所以当
时，
，
，所以对于任意的
，
.

当
,
时,函数
和
不相切. …3分

（2）若
，则
，
，设切点坐标为
，其中
,由题意，得
①，
② ，由②得
，

代入①得
.（*） 因为
，且
，所以
.

设函数
，
，则
.

令
，解得
或
(舍). …8分

当
变化时，
与
的变化情况如下表所示，



1









0







↗



↘



所以当
时，
取到最大值
，且

当
时
.

因此，当且仅当
时
.所以方程（*）有且仅有一解
.

于是
，因此切点P的坐标为
.