2016届高三南京市六校联考调研测试

数 学 试 卷（Ⅰ）

命题人 张 海、甘德顺、叶宝江 审核人 甘德顺、叶宝江

一、填空题（共14小题每小题5分共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上）

1．设集合
，集合
，若
，则
▲ .

2．已知复数
满足
（
为虚数单位），则
的模为 ▲ .

3.已知
为实数，直线
，
，则“
”是“
”的 ▲ 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．

4.根据如图所示的伪代码，最后输出的
的值

为 ▲ .

5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．

6.若实数
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为 ▲ ．

7.已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的值是 ▲ .

8．已知
，
与
的夹角为
，
，则
与
的夹角为 ▲ ．

9.已知
，则
的值为 ▲ ．

10.设椭圆
（
）的左右焦点分别为
，左准线为
，
为椭圆上的一点，
于点
，若四边形
为平行四边形，则椭圆离心率的取值范围是

▲ .

11.若
均为正实数，且
，则
的最小值是 ▲ ．

12. 在
中，已知
，
，则
面积的最大值是 ▲ .

13.已知圆
，直线
，
为直线
上一点，若圆
上存在两点
，使得
，则点
的横坐标的取值范围是 ▲ .

14.若函数
恰有2个零点，则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

15．（本小题满分14分）已知向量
.

（1）当
时，求
的值；

（2）设函数
，当
时，求
的值域.

16.（本小题满分14分）如图，在多面体
中，四边形
是菱形，
相交于点
，
，
，平面

平面
，
，点
为
的中点．

（1）求证：直线
平面
；

（2）求证：直线

平面
．

17.（本小题满分15分）如图，椭圆
（
）的离心率
，椭圆
的右焦点到右准线的距离为
，椭圆
的下顶点为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若过
点作两条互相垂直的直线分别与椭圆
相交于点
.求证：直线
经过一定点.

18.（本小题满分15分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区
，其中
是半径为1百米的扇形，
．管理部门欲在该地从
到
修建小路：在
上选一点
（异于
、
两点），过点
修建与
平行的小路
．

（1）设
，试用
表示修建的小路
与线段
及线段
的总长度
；

（2）求
的最小值．

19.（本题满分16分）已知数列
的前
项和为
，且对一切正整数
都有
.

（1）求证：
（
）；

（2）求数列
的通项公式；

（3）是否存在实数
，使不等式
对一切正整数
都成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由。

20.（本小题满分16分）已知函数
，其中
，
为自然对数的底数．

（1）若函数
在点
处的切线方程是
，求实数
及
的值；

（2）设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；

（3）若
，函数
在区间
内有零点，求
的取值范围.

2016届高三南京市六校联考调研测试

数 学 试 卷（Ⅱ）（加试题）

21.【选做题】本题包括
、
、
、
四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A（选修4—1 ：几何证明选讲）（本小题满分10分）

如图，
是
的一条切线，切点为
，直线
都是
的割线，已知
求证：
.

B.（选修4—2 ：矩阵与变换）（本小题满分10分）

已知矩阵
，若矩阵
对应的变换把直线
变为直线
，求直线
的方程．

C.（选修4—4 ：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
为参数，
，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，若圆
上的点到直线
的最大距离为
，求
的值.

D.（选修4—5 ：不等式选讲）（本小题满分10分）

已知实数
满足
求
的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为
. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子。甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用
表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.

（1）求随机变量
的概率分布列和数学期望
；

（2）求甲取到白球的概率.

23.（本小题满分10分）设
是定义在R上的函数，已知
，且

.

（1）若
，求
；

（2）若
，求
.

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数学试卷（Ⅰ）参考答案及评分标准

1、1； 2、
； 3、充分不必要； 4、55； 5、
； 6、1； 7、
； 8、
；

9、
； 10、
； 11、
； 12、
； 13、
； 14、
.

15.解：（1）∵
，
，

∴
，∴
， ……………………………………3分

∴
. ……………………………………6分

（2）方法1，
………8分

. ……………………………10分

∵
，∴
，∴
………………12分

∴
，即函数
的值域为
. ……………………14分

方法2，

，

……………………………8分

. ……………………………10分

∵
，∴
，∴
………………12分

∴
，即函数
的值域为
. ………………14分

16.解：方法1，

（1）证明：四边形
是菱形

又 点
为
的中点

又
平面

平面

（2）证明：

.

分别为
的中点
且

又
且

四边形
是平行四边形

又

四边形
是菱形
，即

又

……………………………………………………………14分

方法,2，

证明：（1）∵四边形
是菱形，
，∴点
是
的中点，

∵点
为
的中点 ∴
， ……………………3分

又∵
平面
，
平面
，∴直线
平面
．……………7分

（2）∵
，点
为
的中点，∴
.

∵平面

平面
，平面

平面

，

平面
，
∴
平面
， ………………9分

∵
平面
，∴
，

∵
，
，

∴
，

∴四边形
为平行四边形,

∴
， ………………11分

∵
，
，∴
， ∵四边形
是菱形，∴
，

∵
，