广雅学校2016届高三上学期期中考试

数学（理）试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集
集合

则
为（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）复数
（
是虚数单位）的模等于（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）下列命题中的假命题是（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）已知向量
，且
，则实数
＝（ ）．　

（A）－1　 　 （B）2或－1　　 （C）2　 　（D）－2

（5）设p：f（x）=x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞
，则p是q的（ ）

（A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)以上都不对

（6）已知函数
，则
=（ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（9） 若
的展开式中
项的系数为20，则
的最小值为（ ）

（A）1 （ B）2 （C）3 （ D）4

（10）设
为不同的平面，
为不同的直线，则
的一个充分条件为（ ）．

（A）
，
，
（B）
，
，

（C）
，
，
（D）
，
，

（11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种。

（A）150 （B）180 （C）240 （D）540

（12）对函数
，在使
成立的所有常数
中，我们把
的最大值叫做函数
的下确界．现已知定义在R上的偶函数
满足
，当
时，
，则
的下确界为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）.已知偶函数f(x)在[0,+ ()单调递减，f(2)=0.若f(x-1)<0，则x的取值范围是__________.

（14）方程
有实根的概率为 ．

（15）已知点
的坐标满足条件
点
为坐标原点,那么
的最大值

等于 ．

（16）已知函数
(
,
为自然对数的底数)，若函数
在点
处的切线平行于
轴，则
．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知
为等差数列，且满足
．

（I） 求数列
的通项公式；

（II）记
的前
项和为
，若
成等比数列，求正整数
的值．

（18）．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．

（Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若
，
，求△ABC的面积

（19）（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取
个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），

（Ⅰ）求
的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（Ⅱ）从盒子中随机抽取
个小球，其中重量在
内的小球个数为
，求
的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

（20） （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=
，求三棱锥E-ACD的体积.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
．

（I） 讨论函数
的单调区间；

（II）当
时，若函数
在区间
上的最大值为
，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，
为⊙
的直径，直线
与⊙
相切于点
，
垂直
于点
，
垂直
于点
，
垂直
于点
，连接
，
.

证明：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

（23）（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
为参数），以该直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆
的方程为
．

（Ⅰ）求直线
的普通方程和圆
的圆心的极坐标；

（Ⅱ）设直线
和圆
的交点为
、
，求弦
的长．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
且关于
的不等式
的解集为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
均为正实数，且满足
，求
的最小值.

参考答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

B

C

B

C

B

B

D

A

D



（1）【解析】
，又
，故选C．

（2）【解析】
，故模为
，故选A．

（3）【解析】对选项D，由于当
时，
，故选D．

（4）【解析】因为
，所以
，解得
，故
，故选B．

（5）【解析】 解：∵f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣m，

即3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，所以△=16+12m≤0，即m≥﹣
，

∵p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞

∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件， 故选：C

（6）【解析】
，
，所以
，故选B．

（7）【解析】该几何体为直三棱柱，故体为
，故选C．

（8）【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为
，
，
，所以最优解为
时可使目标函数取得最大值为2，故选B．

（9）B【解析】由二项式定理的展开公式可得：
，
项为
，因为
的展开式中
项的系数为20，所以
，由基本不等式可得
，当且仅当
时等号成立．所以选B．

（10）【解析】对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；

对于选项B，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；

对于选项C，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；

对于选项D，由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．

（11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为
，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为
，故不同保送的方法数为150种，故选A．

（12）．【解析】如右图所示，函数
在
上的部分图象，

易得下确界为
，故选D．

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13、
14、

15、
16、

14【解析】方程有实根时，满足
，得
，由几何概型知
，得
.

15【解析】如右图所示，
.

16【解析】直线平行于
轴时斜率为
，由
得
，得出
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题意知
……………………2分

解得
…………………………………………4分

所以
，得
…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
……………8分

∴
，
，

因
成等比数列，所以
，从而
， ………10分

即
，
,解得
或
（舍去）

∴
……………………………………………………12分

（18）（12分）.解答：解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1得：2cosAcosC（
﹣1）=1，

∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣
， ∴cosB=﹣cos（A+C）=
，

又0＜B＜π， ∴B=
；

（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=
=
， ∴
=
，

又a+c=
，b=
， ∴
﹣2ac﹣3=ac，即ac=
， ∴S△ABC=
acsinB=
×
×
=
．

19．（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）由题意，得
，解得
；………………………1分

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），………2分

而
个样本小球重量的平均值为：
（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为
克；…………………………4分

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在
内的概率为
，………………………………5分

则
.
的可能取值为
、
、
、
，…………………………………………………6分

，
，

，
. ………………10分
























的分布列为：