安徽省屯溪一中2016届高三上学期第四次（12月）月考

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数
的实部和虚部相等，则实数
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）

A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关

4.已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 在△ABC中，
，则△ABC为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定

6.已知点M的极坐标为
，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标有（ ）

A．
B．
C．
D．

7.设
为坐标原点，
，若
满足
，则
的最大值为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

8. 不等式组
的解集记为
，有下面四个命题：
：
，
：
，
：
，
：
.其中真命题是（ ）

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

9. 设函数
,则使得
成立的
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.甲罐中5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
和
表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以
表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B. 事件
与事件
相互独立

C．
D.
的值不能确定，它与
中哪一个发生都有关

11．设
，
，且
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
中，常数
那么
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.

13.已知向量
是单位向量，若向量
满足
，则
的取值范围是 .

14.
的展开式中
的系数为 .(用数字填写答案)

15.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 .

16.若曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则a= ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设
均为正数,且
.证明：（1）若
,则
；

（2）
是
的充要条件.

18.（本小题满分12分）

若
为
的三内角，且其对边分别为
．若向量
，
，向量
，
，且
.

(1)求
的值； (2)若
，三角形面积
，求
的值．

19.（本小题满分12分）

在直角坐标系
中，曲线
（t为参数,且
），其中
，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
（1）求
与
交点的直角坐标；（2）若
与
相交于点A,
与
相交于点B，求
最大值.

20.（本小题满分12分）

抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S的最大值．

21．（本小题满分12分）

某中学号召学生在春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图．

（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；

（3）从合唱团中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列.

22．（本小题满分12分）

已知函数
，
，满足
，
.

(1)求
，
的值；

(2)若各项为正的数列
的前
项和为
，且有
，设
，求数列
的前
项和
；

(3)在(2)的条件下，证明：
.

屯溪一中 2016届高三12月份月考

数学（理科）答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

D

C

C

A

B

C

A

C

B

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.
14. -20 15. 5 16. 8

16.分析：由
可得曲线
在点
处的切线斜率为2,故切线方程为
,与
联立得
,显然
,所以由
.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

解：（I）因为

18．（本小题满分12分）

解：（1）∵向量
，向量
，且
.

∴
， …………………………………………………………………3分

得
，又
，所以
. …………………………………………5分

（2）
，∴
. ……………………………8分

又由余弦定理得：
.………………………… 10分

∴
，所以
. …………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以
(1)

又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．

于是
代入（1）式得：
，
；　

令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且
。

20．（本小题满分12分）

分析：（I）把
与
的方程化为直角坐标方程分别为
,
联立解

21．（本小题满分12分）

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为
．

（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．

（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件
，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件
，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件
．易知

；

；

0

1

2














的分布列：

22．（本小题满分12分）

解：(1)由
，

由
代入
可得
，且
.……………………………………………………2分

当
时，
（成立），当
时，
（舍去）.

所以
，
.…………………………………………………………………………4分

(2)
，即
.

时，
.

所以，当
时，由
可得
，

整理得，
.

又
得
，且
，

所以
是首项为1，公差为1的等差数列，即
，
.

. ………………………………………………………………………………6分

，

，

由上两式相减得

.

. ……………………………………………………………………8分

(3)由(2)知
，只需证
.设
(
且
).

则
，

可知
在
上是递减，
.

由
，则
，

故
. …………………………………………………………………………12分