天水一中2013级2015—2016学年度第一学期第二次考试

数学试题（理科）

命题：高玲玲 赵玉峰 审核：张硕光

一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分，每小题只有一个正确答案．）

1．设集合
， 集合
， 则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列说法不正确的是（　　）

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B．同一平面的两条垂线一定共面；

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直．

3．要得到函数
的图象，只需要将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位?? B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位??? D．向右平移
个单位

4．“
”是“
”的（　　 ）

A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

5．已知等差数列
的前13项之和为39，则
等于（???）

A．6　　　　 B．9　　　　 C．12 　　　 D．18

6．已知
满足约束条件
，若
的最大值为4，则
（ ）

A．3 B．-3 C．-2 D．2

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该

三棱锥的表面积是（ ）

A．
B．

C．
D．5

8．函数
的定义域为R，
，对任意
，
，则
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．长方体
中，
，则二面角
的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．若函数
在区间（1，2）是增函数，则a的取值范围是（ ）

.A．
B．
C．
D．

11．已知
，若
点是
所在平面内一点，
，则
的最大值等于（ ）

A．13 B．15 C．19 D．21

12．定义在R上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点之和为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题．（每小题5分，共4小题，共20分）

13．
中，若则

14．曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积为 .

15．设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，则
.

16．已知三棱锥
所在顶点都在球
的球面上，且
平面
，若
，
，则球
的表面积为 ．

三．解答题．（共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）已知向量
，
，
，
为锐角．（1）求向量
，
的夹角；（2）若
，求角
．

18．（本小题满分12分）如图，已知矩形
所在平面外一点
，
平面
，
分别是
的中点，
．

（1）求证：
平面

（2）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）设数列
的前
项和
，且
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）记数列
的前n项和
，求得
成立的n的最小值.

20．（本小题满分12分）设
.

（1）求
的单调区间；

（2）在锐角
中，角
的对边分别为
,若
,求
面积的最大值.

21．（本小题满分12分）设函数

（1）若
在
处取得极值，确定
的值，并求此时曲线
在点
处的切线方程；

（2）若
在
上为减函数，求
的取值范围。

22．（本小题满分12分）设
，函数
．

(1) 求
的单调区间 ；

(2) 证明：
在
上仅有一个零点；

(3) 若曲线
在点
处的切线与
轴平行，且在点
处的切线与直
平行（
是坐标原点）,证明：
．

天水一中2013级2015—2016学年度第一学期第二次考试

数学试题（理科）答案

一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分，每小题只有一个正确答案．）

1.A
2.D 3..B 4..B 5.B 6.D 7. C

8．【答案】C

【解析】：设
，
所以
为减函数，又
所以根据单调性
的解集是

9．【答案】B

10.【答案】C

11．【答案】A 【解析】以
为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则
，
，
，即
，所以
，
，因此

，因为
，所以
的最大值等于
当
，即
时取等号．

12．【答案】B 【解析】

试题分析：由题意得：
，

所以当
时
与
有五个交点，

其中
与
的两个交点关于
对称，和为8；

与
的两个交点关于
对称，和为-8；
与
的一个交点，值为
；因此所有零点之和为
，

二．填空题．（每小题5分，共4小题，共20分）

13．【答案】
14. 【答案】 3 14．【答案】

15．【答案】
． 【解析】因为
且
，所以
或
，

又
，所以
，则
，又
，

由正弦定理得
即
解得
，故应填入
．

16．【答案】
．

【解析】：以底面三角形
作菱形
，则
平面ABC，

又因为SC⊥平面ABC，所以
，过点
作
，垂足为
，

在直角梯形
中，其中
，所以可得
，

所以
，

所以球O的表面积为
，故应选
．

三．解答题．（共6小题，共70分）

17．【答案】

18．【答案】（1）见解析；（2）

【解析】：（1）证明：取
中点
，连结

，

四边形
为平行四边形

所以
平面


平面

（2）连结
，由条件知
，
平面

所以
平面
，

就是直线
与平面
所成的角

经计算得

19．【答案】（1）
；（2）10.

【解析】（1）由已知
，有
，

即
. 从而
.

又因为
成等差数列，即
.

所以
，解得
.

所以，数列
是首项为2，公比为2的等比数列. 故
.

（2）由（1）得
. 所以
.

由
，得
，即
.

因为
， 所以
.

于是，使
成立的n的最小值为10.

20．【答案】（I）单调递增区间
；

单调递减区间

（II）
面积的最大值为

【解析】（I）由题意知

由
可得

由
可得

所以函数
的单调递增区间是
；　

单调递减区间是

21．【答案】（1）
，切线方程为
；（2）
.

当
时，
,故
为减函数；

当
时，
,故
为增函数； 当
时，
,故
为减函数；

由
在
上为减函数，知
，解得

故a的取值范围为
.

22．【答案】（1）
；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】（1）依题
，

∴
在
上是单调增函数；

（2）∵
， ∴
且
，

∴
在
上有零点， 又由（1）知
在
上是单调增函数，

在
上仅有一个零点；

（3）由（1）知令
得
，又
，即
，

∴
，又
，