嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试

高三数学（理科） 试题卷

满分[150]分 时间[120]分钟 2015年11月

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知函数
是偶函数，且
，则
（ ▲）

A．
B．
C．
D．

2.已知
，且
是
的必要不充分条件，则
的取值范围是（ ▲ ）

A．
B.
C．
D.

3.已知
为一条直线,
为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ）

A.若
B.若
则

C.若
D. 若

4.函数
的图象向左平移
个单位得函数
的图象，则函数
的解析式是 ( ▲ )

A．
B．

C．
D．

5.若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　▲　)

A．－2 B．
C．
D．2

6.在
所在平面上有三点
,满足
,

,
,则
的面积与
的面积比为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

7.设双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率为
，过
的直线与双曲线的右支交于
两点，若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，则
（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

8.设
．若
的图象经过两点

，且存在整数n，使得
成立，则 ( ▲ )

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分.

9.已知全集为
，集合
，则
▲ .
▲ .
▲ .

10.已知等差数列
，
是数列
的前
项和，且满足
，则数列
的首项
____▲___ ,通项
___ ▲___.

11.某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积
= ▲ cm3，表面积
= ▲ cm2．

12.已知函数
;(1)当
时，
的值域为 ▲ , (2)若
是
上的减函数,则实数
的取值范围是 ▲ .

13.已知平面向量
满足
且
与

则
的取值范围是 _▲ .

14.已知实数
、
、
满足
，
，则
的最大值为 ▲ .

15.三棱柱
的底是边长为1的正三角形，高
,在
上取一点
,设
与面
所成的二面角为
，
与面
所成的二面角为
，则
的最小值是 ▲ .

三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.（本题满分15分）

在
中，内角
的对边分别为
，且
．

(Ⅰ）求角
的大小；

(Ⅱ)若
，且
的面积为
，求
.

17．（本题满分15分）

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．

(Ⅰ）求证：平面CBE⊥平面CDE；

（Ⅱ）求二面角C—BE—F的余弦值．

18. （本题满分15分）

平面直角坐标系
中，过椭圆
右焦点的直线
交
于
两点，
为
的中点，且
的斜率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）
为
上的两点，若四边形
的对角线
，求四边形ACBD面积的最大值.

19. （本题满分15分）

已知函数
．

（Ⅰ）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值．

20．（本题满分14分）

已知数列
满足：
，
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，试求数列
的通项公式；

（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论并证明
与
的大小关系.

嘉兴一中2015学年第一学期期中考试数学理科答案

选择题

DBCA BBCB

填空题

9.
；
10.．
11.
，

12．（1）
（2）
13.
14.
15.
则
是三棱柱的高.过
则
,设AP=
，BP=
，
，同理

（当
时取等号）

16. (Ⅰ）由
得，
，……………2分

即
，所以，
或
(舍去) ……………4分

因为
为三角形内角，所以
.…………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ）知
，

则
；

由
，得
，………………………9分

由正弦定理，有
，即
，
，……………12分

由三角形的面积公式，得
，即
，

解得
.………………………15分

17．（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE
平面CDE，

所以平面CDE⊥平面ACD．

在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知， AF⊥平面CDE．

取CE的中点M，连接BM、FM，

由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．

所以BM⊥平面CDE．

又BM
平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．……………………………………………7分

法一：（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，

则∠NHF就是二面角C—BE—F的平面角．

在Rt△FNH中，NH=
，FH=
，

所以

故二面角C—BE—F的余弦值为
………………………………………………………15分

法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F(0,0,0)，E(1,0,2) ， B(0,
,1)， C(－1,0,0)，

可求得面FBE的一个法向量为
，

平面CBE的一个法向量为
，

则

故二面角C—BE—F的余弦值为
．…………………………………………15分

18.解：（Ⅰ）设
将A、B代入得到
，则（1）-（2）得到
，由直线AB：
的斜率k=-1，

所以
，OP的斜率为
，所以
，由
得到
，所以M得标准方程为
．

（Ⅱ）若四边形
的对角线
，由面积公式
可知，当CD最长时四边形
面积最大，由直线AB：
的斜率k=-1，设CD直线方程为
，与椭圆方程
联立得：

，
，

则
，当m=0时CD最大值为4，

联立直线AB：
与椭圆方程
得
，

同理利用弦长公式
，

．

19. 解：（1）不等式
对
恒成立，即
（*）对
恒成立，

①当
时，（*）显然成立，此时
；

②当
时，（*）可变形为
，令

因为当
时，
，当
时，
，所以
，故此时
.

综合①②，得所求实数
的取值范围是
.

（2）因为
=

①当
时，结合图形可知
在
上递减，在
上递增，

且
，经比较，此时
在
上的最大值为
.[]

②当
时，结合图形可知
在
，
上递减，

在
，
上递增，且
，
，

经比较，知此时
在
上的最大值为
.

③当
时，结合图形可知
在
，
上递减，

在
，
上递增，且
，
，

经比较，知此时
在
上的最大值为
.

④当
时，结合图形可知
在
，
上递减，

在
，
上递增，且
,
，

经比较，知此时
在
上的最大值为
.

当
时，结合图形可知
在
上递减，在
上递增，

故此时