2015-2016学年度第一学期期中考试高三数学理科试题

选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)

1、设集合
，
，若
，则实数
的值

为 ( )

A．
B．
C．
D．

2．设
是虚数单位，若复数
，则
的值为 ( )

A．
或
B．
或
C．
D．1

3. 下列函数中周期为
且为偶函数的是 （ ）

A．
B.
C.
D．

4. 已知函数
，若函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5. 等比数列
中，
，则“
”是“
”的 ( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6．不等式
≥1的解集是 ( )

A．{x|
≤x≤2} B．{x|
≤x ＜2}

C．{x|x＞2或x≤
} D．{x|x＜2}

7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，S表示△ABC的面积，若
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

8. 已知等差数列
的前n项和为
，
，
，
为等比数列，且
，
，则
的值为 ( )

A. 64 B.128 C.
D.

9. 已知函数①
，②
，则下列结论正确的是 ( )

A. 两个函数的图象均关于点
成中心对称

B. 两个函数的图象均关于直线
对称

C. 两个函数在区间
上都是单调递增函数

D. 可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像

10. 已知函数
对定义域
内的任意
都有
=
，且当
时其导函数
满足
若
则 （ ）

A．
B．

C．
D．

11.已知
是平面上的一定点，
是平面上不共线的三点，动点
满足
，则动点
的轨迹一定通过
的 （ ）

A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心

12. 定义区间
，
，
，
的长度均为
，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,
的长度
. 用
表示不超过
的最大整数，记
，其中
.设
，
，当
时,不等式
解集区间的长度为
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题(共4小题，每题5分，把答案填在题中横线上)

13．命题
的命题否定形式为________________

14．已知偶函数f(x)=
(n∈Z)在(0，+∞)上是增函数，则n = ．

设
且

。

16．已知函数
定义域为[-1, 5], 部分对应值如表

-1

0

4

5





1

2

2

1




的导函数
的图象如图所示, 下列关于函数
的命题

① 函数
的值域为[1,2]; ② 函数
在[0,2]上是减函数;

③ 如果当
时,
的最大值是2, 那么
的最大值为4;

④ 当
时, 函数
有4个零点.

其中真命题是 (只须填上序号).

三、解答题(共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分10分）

在
中，角
的对边分别为
，已知向量
,
，且满足
。⑴、求角
的大小；⑵、若
，试判断
的形状。

18、（本小题满分12分）

已知:f(x)=2acos2x+
asin2x+a2(a∈R,a≠0为常数).

若x∈R,求f(x)的最小正周期；

若
，f(x)的最大值大于10，求a的取值范围.

19. （本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
已知

（8分）

（I）设
，证明数列
是等比数列

（II）求数列
的通项公式.

20.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)，g(x)＝2x2－4x－16，

(1)求不等式g(x)<0的解集；

(2)若|f(x)|≤|g(x)|对x∈R恒成立，求a、b；

(3)在(2)的条件下，若对一切x>2，均有f(x)≥

(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差大于0,且
是方程
的两根，数列
的前
项的和为
，且
．

（Ⅰ）?求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ） 记
,求证：；

（Ⅲ）求数列
的前
项和．

22．（本小题满分12分）

设函数
．

(1)若函数
在
上为减函数，求实数
的最小值；

(2)若存在
，使
成立，求正实数
的取值范围．

2015-2016学年度第一学期期中考试高三数学理科试题答案

选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

A

C

A

B

B

C

Ｃ

Ｃ

C

B



二、填空题(共4小题，每题5分，把答案填在题中横线上)

13.

14. 2

15. 2011

16. ②

三、解答题(共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分10分）

…… …… 4

…………10

18、（1）f(x)=a(1+cos2x)+
asin2x+a2

=2a(sin2xcos
+cos2xsin
)+ a2+a

=2asin(2x+
)+ a2+a……………………………3分

所以函数的最小正周期为T=
.………………………4分

（2）

……………………7分

当a>0时，函数的最大值为a2+3a>10,

解得：a>2(a<-5舍去). ………………………………………………9分

当a<0时，函数的最大值为a2>10

解得：a<-
（a>
舍去) …………………………11分

综上所述，a 的范围是：a<-
或a>2…………………12分

19.（I）证明：由
及
，

由
，．．．① 　则当
时，有
．．．．．②

②－①得

又
，

是首项
，公比为２的等比数列．…………6

（II）解：由（I）可得
，

　　　
数列
是首项为
，公差为
的等比数列．

，
………………12

20.解： (1)g(x)＝2x2－4x－16<0，

∴(x＋2)(x－4)<0，∴－2

∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2

(2)∵|x2＋ax＋b|≤|2x2－4x－16|对x∈R恒成立，

∴当x＝4，x＝－2时成立，

∴，∴，

∴.………………8

(3)由(2)知，f(x)＝x2－2x－8.

∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15　(x>2)，

即x2－4x＋7≥m(x－1)．

∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．

而＝(x－1)＋－2

≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)

∴实数m的取值范围是(－∞，2]．………………12

21．解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程
的两根，且数列
的公差
>0，

∴a3=5，a5=9，公差

∴

又当
=1时，有

当

∴数列{
}是首项
，公比
等比数列，

∴
…………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

∴

∴
………………8

（Ⅲ）
，设数列
的前
项和为
，

（1）

(2 )

得：

化简得：
………………12

22．（本小题满分12分）解：(1)由已知得
．

因
在
上为减函数，故
在
上恒成立．

所以当

时，
．

又
， 2分

当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
． 4分

(2)命题“若存在
，使
成立”等价于“当
时，有

．

由(1)，当
时，
，∴
．

问题等价于：“当
时，有
”． 6分

①当
时，由（1），
在
上为减函数，

则
，故
． 8分

②当
<
时，由于
在
上的值域为

（ⅰ）
，即
，
在
恒成立，故
在