思南中学2015——2016学年度第一学期期中考试

高三年级数学文科试题

命题人：张金彪

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知
为虚数单位，则
的模为 ( )

A．
B．
C．
D．

2．若集合
，
，则
为 ( )

A．
B．
C．
D．

3．已知等比数列
中，
，且有
，则
( )

A．
B．
C．
D．

4．已知
是三角形
的内角，则“
”是“
”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知
,
，
为三条不同的直线，
,
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

A．
B．
∥

C．
D．
∥
[:.]

6．某同学设计右面的程序框图用以计算和式

的值，则在判断框中应填写( )

A．
B．

C．
D．

7．若变量
满足约束条件
，

则
的最大值为 ( )

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，下面四个结论中正确的是 ( )

A．函数
的最小正周期为

B．函数
的图象关于直线
对称

C．函数
的图象是由
的图象向左平移

个单位得到

D．函数
是奇函数

9．双曲线
的右顶点为
，若该双曲线右支上存在两点
使得
为等腰直角三角形，则实数
的值可能为 ( )

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
是定义在
上的奇函数，其最小正周期为
，且
时，
，则

A．
B．
C．
D．

11．已知二面角
的平面角为
，点
在二面角内，
，
，
为垂足，且
设
到棱
的距离分别为
，当
变化时，点
的轨迹是

A．
B．

C．
D．

12．设不等式组
表示的平面区域为
，不等式
（
为常数）表示的平面区域为
，
为平面上任意一点，
：点
在区域
内，
：点
在区域
内，若
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．）

13. 某市有三类医院，甲类医院有
病人，乙类医院有
病人，丙类医院有
人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取
人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为人．

14. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为___

15. 已知不等式
的解集中恰有三个整数，则实数
的取值范围为．

16. 椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点，当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为
，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率
＝　　　　　　　.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ） 求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）已知
中，角
所对的边长分别为
，若
，

，求
的面积
．

18.（本小题满分12分）

在数列
中，

（1）设
证明
是等差数列;

2）求数列
的前
项和
。

19．（本小题满分12分）

如图，已知多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两

互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC,

AB=AD=DG=2,AC=EF=1,

（1）试判断CF是否与平面ABED平行？并说明理由；

（2）求多面体ABC－DEFG的体积。

20．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
：
，
分别为左，右焦点，离心率为
，点
在椭圆
上且满足：
,
， 过右焦点
与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）在线段
上是否存在点
使得以线段
为邻边的四边形是菱形？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．

考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线
经过⊙
上的点
，并且
⊙
交直线
于
，
，连接
．

（Ⅰ）求证：直线
是⊙
的切线；

（Ⅱ）若
⊙
的半径为
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆锥曲线
的参数方程为
（
为参数），定点
，
是圆锥曲线
的左，右焦点．

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点
且平行于直线
的直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）在（I）的条件下，设直线
与圆锥曲线
交于
两点，求弦
的长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）
，使
，求实数
的取值范围．

高三文科数学参考答案

一、选择题：（每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

A

D

C

C

B

A

A

B

D































二、填空题：（每小题5分，共计20分）

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）

…2分

则
……………………………………4分

则函数
的单调递增区间为
………………6分

（Ⅱ） 因为
，所以
，

解得
或
，

又故
……………8分

由
，得
,则
,
,……
…………

18．（本小题满分12分） （1）由已知
得

，

又

是首项为1，公差为1的等差数列；

（2）由（1）知

两式相减得

19．（本小题满分12分）

解（1）CF∥平面ABED.--------------------------------------------------------------1分

∵平面ABC∥平面DEFG，面
面
＝AC, 面

面
＝DG

∴
,同理
---------------------------------------3分

∴
∵AC=EF, ∴AEFC为平行四边形

∴平面BEF∥平面ADGC,

∴
,∵
面
，
面

∴CF∥平面ABED--------------------------------------------------------------------6分

(2)连结BG,BD, ∵
且
　∴
平面

同理可得
面DEFG-----------------------------------------------------------------8分

∵

,

.-------------------------------------------------------------------------12分

20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）
时，
，
，切点坐标为
，

切线方程为

（2）
恒成立， 即
恒成立，

又
，则当
时，
恒成立，

令
，只需
小于
的最小值，

，

，
，
当
时
，

在
上单调递减，
在
的最小值为
，

则
的取值范围是
． … 12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）由已知
，所以
，
，

又因为
，所以
，--------------------------------2分

由余弦定理
，----4分

所以
，
，所以椭圆方程为
-------------------------------5分

（2）假设存在点
满足条件，设
，
，直线
的方程为
，

联立：
，则

，----------------------------------------------------------------------------7分

由题知
，

因为
，

所以
，即
，

则
，

所以
，---------------------------------------------------------------------10分

，又
在线段
上，则
，

故存在
满足题意．-----------------12分

22．（本小题满分10分）

证明：（1）如图，连接

是圆的半径，
是圆的切线．-------------------------------3分

（2）
是直径，

又
，

∽
，
，-----------5分

，

∽
，
-----------------------7分

设

--------9分

------------------------10分

23．（本小题满分10分）

解：（1）圆锥曲线
的参数方程为

（
为参数），

所以普通方程为
：
----------------------------------------------2分