贵州省思南中学2016届高三上学期期中考试试题

（理科数学）

一、选择题：（本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、若
，且
，则实数
的取值范围是（ ）

(A)
（B）
（C）
（D）

2、复数
，且
是纯虚数，则实数
的值为（ ）

（A） －2 （B） 2 （C） 1 （D）－1

3、
（ ）

（A）
（B）3 （C）
（D）

4、在等差数列{
}中，
，则数列{
}的前16项和
等于（　　）

　（A） 33 （B）44 （C）96 （D）66

5、设
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）

(A) 12 （B）7 （C）6 （D） 4

6、执行右面的程序框图,如果输入的
,那么输出的
（　　）

（A）
（B）

（C）
（D）

7、使得
的展开式中含有常数项的最小的
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8、
（ ）

(A)
（B）
（C）
（D）

9、一几何体的三视图如右图所示,若正视图和侧视图都是等腰直

角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（　 ）

（A）
(B)
(C)
(D)

10、已知
的解集为（ ）

（A）．
（B）．

（C）．
（D）．

11、已知
、
为双曲线
的左右焦点，点
在曲线
上，
,

则
＝（ ）

(A)
（B）
（C）
（D）

12、若曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
的切线的方程为（ ）

(A)
（B）
（C）
（D）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、已知向量
的夹角为
，且
则
＝

14、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于　　　　　.

15、已知菱形
的边长为4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为

16、设数列
的前
项和为
，若
，
，则数列{
}的通项公式是
。

17、（12分）在
中，内角
的对边分别为
。已知
。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
的周长为
，求
。

18、（12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量，直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095 – 2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。

从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值

（微克/立方米）

[25,35]

(35,45]

(45,55]

(55,65]

(65,75]

(75,85]



频数

3

1

1

1

1

3



（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级

的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望。

19、（12分）已知直三棱柱
中，
，

为
的中点，
在
上，且
。

（Ⅰ）求证：
面
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值。

20、（12分）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的焦距为
，且点
在椭圆
上。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点
分别是椭圆
的左右顶点，直线
经过点
且垂直于
轴，点
是椭圆
上异于点
的任意一点，直线
交
于点
，设直线
，
的斜率分别为
，求证：
为定值。

21、（12分）已知函数
（
）（Ⅰ）求函数
的单调区间；（Ⅱ）若
恒成立，求整数
的最大值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，

22、（10分）如图，
为圆
的直径，直线
与圆
相切于点
，
于
，
于
，
于
，连接
。证明：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
。

23、（10分）在平面直角坐标系
中,直线的参数方程

(为参数),曲线
的参数方程为
(
为参数)。

（Ⅰ）求直线与曲线
的普通方程；

（Ⅱ）求直线与曲线
的公共点为直径的圆的极坐标方程。

24、（10分）设不等式
的解集为
，且
。

（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）若
，且
，求证：
。

贵州省思南中学2016届高三上学期期中考试试题

理科数学参考答案

一、选择题：

1、A 2、D 3、C 4、C 5、B 6、B

7、B 8、A 9、C 10、C 11、D 12、A

二、填空题：

13、
14、 25 15
16

17、解：（Ⅰ）在
中，有

又
，则

。――－2分

即
，――4分

。（也可用余弦定理求解）―6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
，又
，
。――8分

由余弦定理得：
――10分

，或

当

，当
与
矛盾。故
――12分

18.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件
， ……1分

. ……6分

（Ⅱ）依据条件，
服从超几何分布：其中
，
的可能值为
，其分布列为：
……9分























 ……11分

12分

19、解：（Ⅰ）由

，知
，设
，则
。

在
中，有

在
中，有

由

，

，知
为
的中点。――3分

又
，

由三棱柱
为直三棱柱，有
面
，

又
面
，
――5分

由
，
面
。（也可用向量法）――6分

（Ⅱ）由条件如图建立空间直角坐标系
，由（Ⅰ）可得：
。

由条件知：
面
，

面
的法向量为
；――8分

设面
的法向量为
，则
，

又
，
，

令
，则
――10分

，设二面角
的大小为
，则

，

即二面角
的正弦值为
。――12分（也可用几何法解）

20、解：（Ⅰ）已知椭圆
的焦距为
，
①――2分

又点
在椭圆
上
②――4分

联立①②得
，或
（会去）

故椭圆
的方程：
。――6分（也可用椭圆的定义求解）

（Ⅱ）法1：由条件可得直线
的方程为：
，设
。

由
，得
（*）――8分

易知
为（*）方程的两根，则

，
，
，

则
。――10分

故直线
的方程为：
。令
，得
，即
，则

，
。――12分

法2：
，易得
且
。

又
三点共线，则
。

，
。

则
，
。

21、解：（Ⅰ）
，令
，――3分

则
，

恒成立，
恒成立――4分

故
的单调减区间为
。――5分

（Ⅱ）由
，
恒成立

恒成立。

令
，只需
即可。

――8分

令

在
上单调递减，又
，则

存在实数
，使
――10分

在
上递减，在
上递增。

，故
――12分

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）由直线
直线
与圆
相切，得
。

由
为圆
的直径，得
，从而
；

又
，得
，从而得
故
。――5分

（Ⅱ）由
，
，
为公共边，则

≌
，得
；

同理可得：
≌
得
。

又在
中，
，故

――10分

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为
；――2分

曲线
的直角坐标方程为
；――4分

由
，得
，
。

故与
交点的
。―――6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
为直径的的圆的方程为：

（也可求出圆的圆心，半径写出方程）

化简得：
――8分

由极坐标系与直角坐标系的互化关系
，得：

圆的极坐标方程为
。――10分

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由
。――4分

又
。――5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）有：
（
）

又

――10分

也可用基本不等式证明。

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