宜昌一中 龙泉中学2016届高三年级十月联考

数学试题（理）

命题学校： 龙泉中学 命题人： 崔冬林 审题人： 汪洋涛

本试卷共 2 页，共 22 题。满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）

1．已知集合
，
，若
，则

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．能够把圆
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“和

谐函数”,下列函数不是圆
的“和谐函数”的是

A．
　　　　　　　 B．

C．
　　　　　　　　 D．

4．设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的值为

A．27　　 　 　B．36 C．45　 　 D．54

5．
=

A．
B．
C．
D．

6．下列说法正确的是

A．“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

B．
为等比数列，则“
”是“
”的既不充分也不必要条件

C．
，使
成立

D．“若
，则
”是真命题

7．2012年初，甲?乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业．2015年初在经济指标对

比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按

各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2015年企业缴纳地

税的情况是

A．甲多 B．乙多 C．甲乙一样多 D．不能确定

8．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，

四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”；

丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了．

A．甲 丙 B．乙 丁 C．丙 丁 D．乙 丙

9．已知
的外接圆半径为1，圆心为O，且
，则
的面积为

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
（
）的图象关于直线
对称，

则

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
是
上的增函数．当实数
取最大值时，若

存在点
，使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积

总相等,则点
的坐标为

A．
B．
C．

D．

12．已知
，函数

，若关于
的方程

有6个解，则
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
是函数
的极值点，则
的值为 ．

14．已知非零向量
满足
，则
与
的夹角
．

15．在
中，
，
，则
的最大角的余弦值为 ．

16．定义
表示实数
中的较大的数．已知数列
满足

，若
，记数列
的前
项和为
，则

的值为 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

如图
中，已知点
在
边上，且
，

．

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求
．

18．（本小题满分12分）

已知数列
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）数列
满足
，求数列
的前
项和
．

19．（本小题满分12分）

如图，有一矩形钢板
缺损了一角，边缘线
上每一点到点
的距离都等于它到边
的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若
，
，为了方便，如图建立直角坐标系，问如何画切割线
可使剩余部分五边形
的面积最大？

20．(本小题满分12分)

各项为正数的数列
的前n项和为
，且满足：

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设函数
，
，
，求数列
的

前
项和
．

21．(本小题满分12分)

已知函数
，其中
是自然对数的底数．

（Ⅰ）若方程
无实数根，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若函数
是
内的减函数，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是
的直径，
与
相切于
，
为线段
上一点，连接
、

分别交
于
、
两点，连接
交
于点
．

（Ⅰ）求证：
四点共圆；

（Ⅱ）若
为
的三等分点且靠近
，
，
，求线段
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，（
为参数），以坐标原点为

极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离
的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

龙泉中学 宜昌一中2016届高三年级十月联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

A

D

C

D

B

D

C

A

C

D





二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
14．
15．
16． 7254

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．解：（Ⅰ）因为
，所以
,

所以
． 2分

在
中，由余弦定理可知，

即
, 4分

解之得
或
, 由于
,所以
． 6分

（Ⅱ）在
中，由正弦定理可知，
,

又由
可知
8分

所以
10分

因为
，即
12分

18．解：（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为
，由
，得
，

从而
，因此
， 3分

又
，

，
，故
，
6分

（Ⅱ）

令

则
9分

两式相减得

，故
12分

19．解：由题知，边缘线
是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线的一部分．

以
点为原点，
所在直线为
轴建立直角坐标系，则
，
．

边缘线
所在抛物线的方程为
．……………………………2分

要使如图的五边形
面积最大，则必有
所在直线与

抛物线相切，设切点为
．

则直线
的方程为
，

即
，

由此可求得
点的坐标分别为

，
． ……………………………………………………4分

所以

，
7分

所以

显然函数
在
上是减函数，在
上是增函数．……………………9分

所以当
时，
取得最小值，五边形
的面积最大． 10分

此时点
的坐标分别为
．

此时沿直线
划线可使五边形
的面积最大． 12分

20．解：（Ⅰ）由
①得， 当n≥2时，
②；

由①－②化简得：
， 2分

又∵数列
各项为正数，∴当
时，
，

故数列
成等差数列，公差为2，又
，

解得
； 5分

（Ⅱ）由分段函数
可以得到：

； 7分

当
，
时，

， 9分

故当
时，

…………12分 最后结果写成
不扣分

21．解：（Ⅰ）由
得
，即
，
无负实根．

故有
．令
，
， 2分

　　由
得
，由
得
，

　　
在
上单调递增，
在
上单调递减．　

，
的值域为
． 4分

要使得方程
无实数根，则
，即
． 5分

（Ⅱ）
，由题设，

　知对
恒成立．不妨取
，有
，

　 而当
时，
，故
．　 7分　

①　当
，且
时，
．

　　而当
时，有
，故
．所以
，

　　所以
在
内单调递减，　故当
时满足题意．　 9分

②　当
时，
，且
，即
．