湖北省部分重点高中2016届高三十月联考

理科数学试题

考试时间2015年10月27日15:00-17:00 满分150分

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知
，其中
是实数，i是虚数单位，则
=

A．3 B．2 C．
D．5

2．下列命题中正确命题的个数是

(1)对于命题
，则
，均有
；

(2) 命题 “已知

，若
，则
或
”是真命题

(3)回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为
＝1.23x＋0.08

(4)
是直线
与直线
互相垂直的充要条件；

(5)若
，则不等式
成立的概率是
；

A．4 B．3 C．2 D．1

3．执行右面框图，则输出
的结果是

A．
B．
C．
D．

4．某几何体的正视图和侧视图如图所示（方格长度为1个单位），则该几何体的体积不可能是

A．
B．
C．
D．

5．在
中，
，且
，则
=

A．
B．
C．3 D．－3

6．定义在R上的函数
则满足
的
的取值范围是

A．(－∞，2) B．(－2，2) C．(－1，2) D．(2，＋∞)

7．若
、
满足
，且
的最小值为
，则
的值为

A．2 B．
C．
D．

8．
（其中
，
，
）的图象如图，为了得到
的图象，只要将
的图象

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D． 向右平移
个单位长度9．已知双曲线
与抛物线
有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若
，则点F到双曲线的渐近线的距离为

A．
B．
C．
D．

10．已知
，其中
为常数.
的图象关于直线
对称，则
在以下区间上是单调函数的是

A．
B．
C．
D．

11．定义一：对于一个函数
，若存在两条距离为
的直线
和
，使得在
时，
恒成立，则称函数
在
内有一个宽度为
的通道.

定义二：若一个函数
，对于任意给定的正数
，都存在一个实数
，使得函数
在
内有一个宽度为
的通道，则称
在正无穷处有永恒通道.下列函数

①
, ②
， ③
， ④
，

其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知函数
,若存在
，使得关于
的方程
有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13．
的展开式中
的系数为________.（用数字填写答案）

14．若
则

15．向量
满足
，向量
满足
，则
的最小值为 ；

16． 已知数列
共有9项，其中，
，且对每个
，均有
。

（1）记
，则
的最小值为

（2）数列
的个数为

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. （本小题满分12分）

已知函数
.

求
.

18．（本小题满分12分） 在数列
中，

（Ⅰ）求数列
的通项
；

（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求实数
的最小值.

19．（本小题满分12分）已知ABCD是正方形，直线
平面ABCD，且AB=AE=1.

（Ⅰ）求异面直线AC,DE所成的角；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）设P为棱DE的中点，在
的内部或边上是否存在一点H，使
平面ACE？若存在求出点H的位置，若不存在说明理由.

20．（本小题满分12分）某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

日需求量

14

15

16

17

18

19

20



频数

10

20

16

16

15

13

10



（Ⅰ）若花店一天购进
枝玫瑰花，求当天的利润
(单位：元)关于当天需求量
（单位：枝，
）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量

（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

①若花店一天购进
枝玫瑰花，
表示当天的利润（单位：元），求
的分布列，数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

21.（本小题满分12分） 已知函数

（I）若
时，函数
在其定义域上是增函数，求
的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数
，求函数
的最小值；

（III）设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
，过线段
的中点
作
轴的垂线分别交
于点
，问是否存在点
，使
在
处的切线与
在
处的切线平行？若存在，求出
的横坐标；若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，

且AD=
AC， AE=
AB，BD，CE相交于点F．

（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23.(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

直线
（极轴与
轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。

（Ⅰ）求圆心C到直线
的距离；

（Ⅱ）若直线
被圆C截的弦长为
的值。

24.(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设函数
．

(Ⅰ)求不等式
的解集；

(Ⅱ)若
，
恒成立，求实数
的取值范围。

湖北省部分重点高中2016届高三十月联考

理科数学答案

CCBDB CDAAB CB 13．
14．
15．
16．（1）6；（2）491

17.解：由条件可得：

f(x)=-√3 msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+π/6)+m+n

x∈[0,π/6],∴2x+ π/6∈[π/6,7π/6]∴sin?(2x+ π/6)∈[-1/2,1] …………………………..4分

当m>0,f(x)的最大值为-2m(-1/2)+m+n=4. f(x)的最小值为-m+n=-5.

解得：m=3,n=-2,从而g(x)=3sinx-4cosx=5 sin?(x+?),x∈R.

则T=2π，最大值为5，最小值为-5. ………………………………………..8分

当m<0,

解得：m=-3,n=1,从而g(x)=-3sinx+2cosx=√13 sin?(x+?),x∈R.

则T=2π，最大值为√13，最小值为-√13. ……………………………………….12分

18．解：（Ⅰ）
当
时

即
显然
，则
当
时

而
符合，故
6分

（Ⅱ）
有解，由（1）可知当
时，设

则
又
及
知
，所以所求实数
的最小值为
12分

19.解 （Ⅰ） 以A为坐标原点、AD为x轴，AE为y轴、AB为z轴建立坐标系，则
，
从而
，于是

, 因此异面直线AC与DE所成角为
.------------------4分

（Ⅱ）
，设平面ACE的法向量为
，则

令
，得
，同理可得平面CDE的法向量为
，因此其法向量的夹角为
，即二面角
的大小为
. -----------------8分

（Ⅲ）由于
，设
（其中
），则
.

由
面ACE,得
从而
解得

故存在点
，即BE的中点，使
平面ACE. ----------------12分

20解：（1）当
时，
当
时，

X

60

70

80



P

0.1

0.2

0.7



得：
…………4分

（Ⅱ）①
可取
，
，
，

的分布列为：
,
……8分

②购进17枝时，当天的利润为

得：应购进17枝 ………12分

21.解：（I）依题意：

在（0,+
）上是增函数，

对x∈（0,+
）恒成立， …………2分

………4分

（II）设

当t=1时，ym I n=b+1； ……6

当t=2时，ym I n=4+2b

当
的最小值为
…………8分

（III）设P、Q
则点M、N的横坐标为
C1在M处的切线斜率为
C2在N处的切线斜率为
……9分

假设存在点
使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

……10分

设① ……11分

这与①矛盾，假设不成立.

所以不存在点
使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行， ……12分

22.（Ⅰ）证明：

，

.

在正△
中，
，

，又
，

，
△BAD≌△CBE，

，

即
，所以
，
，
，
四点共圆. …………5分

（Ⅱ）解：如图，取
的中点
，连结
，则
.

，

，

，
，

△AGD为正三角形，

，即
，

所以点
是△AED外接圆的圆心，且圆
的半径为
.

由于
，
，
，
四点共圆，即
，
，
，
四点共圆
，其半径为
. …………10分

23.解（Ⅰ）把
化为普通方程为
　　

把
化为直角坐标系中的方程为
……………4分

圆心
到直线的距离为
…………… 5分

（Ⅱ）由已知圆的半径