枣阳一中2015届高三上学期10月数学模拟试题

数学（理科）

全卷满分150分，考试时间为120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、若复数
满足
,则在复平面内,
对应的点的坐标是( )

A、
B、
C、
D、

2、设等差数列
的前项和为
，若
，
，则
等于

A、180 B、90 C、72 D、100

3、设
，
，若
，则实数
的取值范围是

A、
B、
C、
D、

4、要得到一个奇函数，只需将
的图象

A、向右平移
个单位 B、向右平移
个单位

C、向左平移
个单位 D、向左平移
个单位

5、已知
、
为非零向量，则“


”是“函数
为一次函数

的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

6、函数
的图象大致为

A B C D

7、若
，则函数
两个零点分

别位于区间

A、
和
内 B、
和
内

C、
和
内 D、
和
内

8、已知函数
，若
，
则
的取值范围是( )

A、
B、
C、
D、

9、已知函数
，若有四个不同的正数
满足
（
为常数），且
，
，则
的值为( )

A、10 B、14 C、12 D、12或20

10、已知
是
的重心，点
是
内一点，若
，则
的取值范围是( )

A、
B、
C、
D、

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11、已知函数
＝
, 则
＝ ．

12、已知等差数列
的前
项和是
，则使
的最小正整数

等于 .

13、点A是函数
的图象与x轴的一个交点

（如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形

OABC的面积，那么边AB的长等于 .

14、已知函数
在
处有极值为10，则
.

15、已知定义在
上的函数
满足
，
，则不等式
的解集

为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16、（本小题满分12分）

设向量
为锐角。

（1）若
，求
的值； （2）若
，求
的值。

17、（本小题满分12分）

设集合
的定义域为R

(1)若命题
,命题
,且“
且
”为假,“
或
”为真,试求实数

的取值范围；

(2)若
是A到B的函数,使得
,若

试求实数
的取值范围。

18、（本小题满分12分）

已知函数
，
，
的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．

求
的最小正周期及
的值；

若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝，求A的值．

19、（本小题满分12分）

在数列
中，
.

（1）求证：
为等差数列，并求
；

（2）若数列
满足
，求数列
的前
项和
.

20、（本小题满分13分）

如图是白水高中运动场平面图，运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形
和分别以
、
为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元，

（Ⅰ）设半圆的半径
（米），写出塑胶跑道面积
与
的函数关系式
；

（Ⅱ）由于受运动场两侧看台限制，
的范围为
，问当
为何值时，运动场造价最低（第Ⅱ问
取3近似计算）.

21、（本小题满分14分）

已知
.

（Ⅰ）求函数
在
上不单调，求
的取值范围；

（Ⅱ）对一切
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立.

数学（理科）答案

一.选择题

1、C 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D 7、A 8、D 9、D 10、C

二.填空题

11、－2 12、2011 13、
14、18 15、

三.解答题

16. 解：（1）因为
=2 + sinθcosθ = , 所以sinθcosθ = ，…… … 2分

所以（sinθ +cosθ）2 = 1+2sinθcosθ = ．

又因为θ为锐角，所以sinθ + cosθ =  ……4分

（2）因为
，所以tanθ = 2， ……6分

所以sin2θ = 2sinθcosθ = = = ， ……8分

cos2θ = cos2θ-sin2θ =  =  = — ． ……10分

所以sin(2θ+ ) = sin2θ + cos2θ

= = ． ……12分

17、解：(1)A=
B=
……4分

当P真Q假时,
;当P假Q真时,
,

所以
………7分

(2) A=
; B=
;
,
……12分

18、解：(1)由题意得T＝＝6 . ………………2分

因为P(1，A)在
图象上，所以
＝1.

又因为0＜
＜，所以
＝ . ………………6分

(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．

由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．. ………………8分

连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得

cos ∠PRQ＝＝＝－，

解得A2＝3.又A＞0，所以A＝. ………………12分

19、（1）

，

所以，
为等差数列，且
，

所以，
………………5分

（2）当
时，

当
时，联立
，

得
，所以

所以 ，
，
………………8分

，

所以

，

. ………………12分

20.解：（Ⅰ）

………………5分

（Ⅱ）总造价

…………8分

令
，则

∴
在区间
上单调递减

故当
时，总造价最低 …………13分

21、（Ⅰ）
.

当
单调递减，当
单调递增 ……2分

在
上不单调

∴

解之得
………………4分

（Ⅱ）
，则
，

设
，则
， ………………6分

①
单调递减，②
单调递增，

所以
，对一切
恒成立，

所以
. ………………9分

（Ⅲ）问题等价于证明
，

由（Ⅰ）可知
的最小值是
……………12分

设
，则
，易知

，当且仅当
时取到，

从而对一切
，都有
成立. ………………14分

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