保定市2016届高三高考摸底考试

数学理试题　2015.11

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。）

1．设集合M＝
，N＝｛一1，1｝，则集合
中整数的个数为

A．3 　　　B．2　　C、1　　 D．0

2．
＝

A．
　　 B．2 　　C．
＋
i　D．
－
i　

3·命题“
＞0”的否定是

A．
＞0　　B．
≤0

C、
＜0　　　D、
≤0

4、设向量
，则下列选项正确的是

A、
　　　 B、
　　C、
　　D、

5、下列函数是偶函数，且在［0,1］上单调递增的是

　A、
　　B、
　　　C、
　　D、

6·“
”是“
”的

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　D．既不充分也不必要条件

7·已知｛
｝为等比数列，若
，且a4与2 a7的等差中项为
，则其前5项和为

A．35 　　B．33 　　C．31　　 D．29

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，
，则

A．a＞b 　　B．a＜b

C．a＝b 　　　D．a与b的大小关系不能确定

9．已知1＞a＞b＞c＞0，且a，b，c依次成等比数列，设m=logab，n=
，则

m，n，P的大小关系为

A、p＞n＞m B．m＞p＞n C．p＞m＞n D．m＞n＞p

10．已知
均为单位向量，且
，则
的最大值是

A．1一
　　B、－1　　C．1 　　D．l＋

11．下列命题：①函数f（x）＝sin2x一cos2x的最小正周期是
；

②在等比数列〔
｝中，若
，则a3＝士2；

　　③设函数f（x）＝
，若
有意义，则

　④平面四边形ABCD中，
，则四边形ABCD是

菱形．

其中所有的真命题是：

A，①②④　　B．①④　　C．③④　　D．①②③

12．已知函数f（x）＝｜lnx｜，g（x）＝
．则方程f（x）一g（x）一1＝0实根的个数为

A．1　　B、2 　　C．3　　 D．4

第II卷非选择题

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分。）

13、若
＝1（a＞1），则a＝　　　

14，已知函数f（x）＝
则不等式2一x≥（2x一1）f（x）的解集为　　　　　

15．设等差数列{
}满足：公差d
，

，且{
}中任意两项之和也是该数列中的

一项．若al＝9，则d的所有可能取值为　　　　　

16．函数f（x）＝
在区间［一1，2］上是减函数，则b一c的最小值为　　　　

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分10分）

设数列{
}满的前n项和为Sn，且
，
·

（1）求数列{
}满的通项公式；

（2）设
，求数列｛
｝的前n项和Tn．

18．（本小题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且
．

（1）若A＝30°，求a；

（2）求△ABC面积的最大值．

19．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝（x－1）3＋m．

（1）若f（1）＝1，求函数f（x）的单调区间；

（2）若关于x的不等式
在区间［1，2〕上有解，求m的取值范围；

（3）设
是函数f（x）的导函数，
是函数
的导函数，若函数
的零点

为x0，则点（x0，f（x0））恰好就是该函数f（x）的对称中心．若m＝1，试求

的值。

20．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝
．

（l）求函数f（x）的定义域；

（2）求函数f（x）的值域．

21．（本小题满分12分）

已知等差数列{
}的前n项和为Sn，公差d＞0，且
，
,公比为q（0＜q＜1）的等比数列{
}中，

（1）求数列{
}，{
}的通项公式
，
；

（2）若数列{
}满足
，求数列{
}的前n项和Tn。

22，（本小题满分12分）

己知函数f（x）＝lnx－x＋1．

（1）求函数f（x）的图象在点x＝2处的切线方程；

（2）设
（k＞0），对
x1∈(0，+∞)，
x2∈(-∞，0)，使得

f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范围；

（3）设
，证明：
．

2015年保定市高三摸底考试

数学试题答案（理科）

一.选择题：CABBD ACADD BC

二．填空题：本大题共4小题,每小题5分。

13.
14.
15. 1,3,9 16.

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）[]

解：(1)
，
,
……………………1分

，……………………3分

，所以数列
是首项为1，公比为
的等比数列.

所以
.…………5分

…………………………………………10分

18.（本小题满分12分）

解：（1）因为
，所以
. ---------------2分

因为
，
，由正弦定理
可得
………………5分

（2）因为
的面积
， ---------------6分

，所以
. ----------------8分

因为
，所以
， ----------------10分

所以
，（当
时等号成立）

所以
面积的最大值为
. -----------------12分

19. （本小题满分12分）

解：（1）因为
，所以
， ……………………1分

则
，

而
恒成立，

所以函数
的单调递增区间为
． …………………4分

（2）不等式
在区间
上有解，即不等式
在区间
上有解，

即不等式
在区间
上有解，即
不小于
在区间
上的最小值． …………………………………………………………………6分

因为
时，
，

所以的取值范围是
．…………………… 8分

（3）由题意可得
,所以
.令
可得
,

所以函数
的对称中心为
,

即如果
,则
=2, …………………………………………10分

所以
.……………………12分

20. （本小题满分12分）

解：（1）由sinx＋1≠0得，x≠－＋2kπ(k∈Z),

∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠－＋2kπ，k∈Z}．………………3分

（2）f(x)＝(－1)(sinx－cosx)＝(1－sinx－1)(sinx－cosx)

＝－sinx(sinx－cosx)＝sinxcosx－sin2x ……………………6分

＝sin2x－＝(sin2x＋cos2x)－

＝sin(2x＋)－ {x|x≠－＋2kπ，k∈Z}………9分

虽然当x=－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)＝－１，但是

f(x)＝－１
{x|
或
，k∈Z}
{x|x=－＋2kπ，k∈Z}

……………………………………………………………………………………10分

∴函数f(x)的值域为
…………………………12分

21. （本小题满分12分）

解：（1）因为
为等差数列，所以

又

又公差
,所以

所以

所以
解得

所以
……………………………………………………3分

因为公比为
的等比数列
中，

所以，当且仅当
时成立.

此时公比
　　

所以
…………………………………………………………6分

（2）①
为正偶数时,
的前
项和
中,
，
各有前
项,由（1）知

………………9分

②
为正奇数时,
中,
，
分别有前
项、
项.

………………12分

22．（本小题满分12分）

解：（1）
，……………………1分

又切点为（2，ln2-1），所以切线方程为x+2y-2ln2=0……………………3分

（2）
，故函数f(x)在（0，1）上递增，在(1，+∞)上递减。

于是
x1∈(0，+∞)，f(x1) ≤f(1)=0，即f(x1)的最大值为0，……………………5分

由题知：对
x1∈(0，+∞)，
x2∈(-∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，

只须f(x)max≤g(x)max．

∵


≤
，

∴ 只须
≥0，解得k≥1．……………………………………8分

（3）由（2）知f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数，

∴ f(x)≤f(1)=0， ∴ lnx≤x-1．……………………10分

所以当n≥2时,

，

∴

………………………………12分

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