2015—2016学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考

高三数学（理科）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数
（ ）

A.
B.
C.0 D.1

2．已知全集
，则CUA=（ ）

A．{x|l

C．{x|2≤x<3} D． {x|2≤x≤3或x=1}

3．设集合
和集合
都是自然数集合
，映射
,把集合
中的元素
映射到集合
中的元素
,则在映射
下，象20的原象是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

4．已知数列
的通项公式为
。令
,则数列{
}的前10项和T10=（ ）

A．70 B．75 C．80 D．85

5.
，其中
为向量
与
的夹角，若
，
，
，则
等于（　 ）

A．
B．
C．
或
D．

6．已知数列
满足
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7、在△ABC中，角
所对的边分别是
，已知
，且
，则△ABC的面积是（ ）

8、化简
（ ）

A.
B.
C.
D.

9、函数
的图象大致是（ ）

10．已知函数
的图像为曲线
，若曲线
存在与直线
垂直的切线，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

11、设函数
,若实数
满足
,则( )

A.
B.
C.
D.

12、已知函数
是定义在R上的奇函数，其导函数为
，且x<0时，
恒成立，则
的大小关系为（ ）

A.
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)

13．已知点
和向量
,若
,则点
的坐标为

14．已知
是偶函数，则
的图像的对称轴是直线 .

15．已知实数
若
，则
___________.

16．设
为
的导函数，
是
的导函数，如果
同时满足下列条件：①存在
，使
；②存在
，使
在区间
单调递增，在区问
单调递减．则称
为
的“上趋拐点”；如果
同时满足下列条件：①存在
，使
；②存在
，使
在区间
单调递减，在区间
单调递增．则称
为
的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是 （只写出正确结论的序号）

①
为
的“下趋拐点”；

②
在定义域内存在“上趋拐点”；

③
在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则
的取值范围为
；

④
，
是
的“下趋拐点”，则
的必要条件是
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）

已知函数
，

（Ⅰ）解关于
的不等式
；

（Ⅱ）若函数
的图像恒在函数
图像的上方，求实数
的取值范围．

18．（本小题12分）

已知数列
的前
项和为
，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

19．（本小题12分）

函数
在一个周期内的图象如图所示,
为图象的最高点,
、
为图象与
轴的交点,且
为正三角形.

(Ⅰ)求
的值及函数
的值域;

(Ⅱ)若
,且
,求
的值.

20、（本小题12分）

在△ABC中，角
所对的边分别是
，且
．

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)已知
，求
的值．

21. （本小题12分）

已知函数

(Ⅰ)若
，求函数
的极值和单调区间；

(Ⅱ)若在区间
上至少存在一点
，使得
成立，求实数
的取值范围.

22．（本小题12分）

已知函数
.

（I）若函数
有极值1，求实数
的值；

（II）若函数
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围；

（III）证明：
.

2015—2016学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考高三数学（理科）参考答案

一．选择题（共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

C

B

B

D

D

C

A

C

A

D



二．填空题（共20分）

13.
14.
15. 3 16. ①③④

三．解答题（共70分）

17. 解：（Ⅰ）由
得
，…………1分

…………2分

…………3分

故不等式的解集为
…………5分

（Ⅱ）∵函数
的图象恒在函数
图象的上方

∴
恒成立，即
恒成立…………7分

∵
，…………9分

∴
的取值范围为
．…………10分

18. （Ⅰ）当
时，由
得：
．…………1分

由
　 ①

（　
）②…………2分

上面两式相减，得：
．（　
） …………4分

所以数列
是以首项为
，公比为
的等比数列． 得：
．……6分

（Ⅱ）

．　…………7分

． ……9分

…………12分

19. 解：(Ⅰ)由已知可得:

=3cosωx+

…………2分

又由于正三角形ABC的高为2
,则BC=4 …………3分

所以,函数
…………5分

所以,函数
…………6分

(Ⅱ)因为
(Ⅰ)有

…………7分

由x0
…………8分

所以,
…………9分

故

…………10分

…………11分

…………12分

20. 解：(Ⅰ)

，

，∴
，………2分

∴
，…………4分

∵
，∴B=
.………………………………………6分

(Ⅱ)
，……………………… 7分

∵
，

∴
，即
，∴
，……………………… 8分

而
，∴
.…………… 10分

∴

. ……………………………………………… 12分

21.解：（1） 因为
，……………1分

当
，
，令
，得
，令
，得
；令
，得

……………2分

所以
时，
的极小值为1. ……………3分

的递增区间为
，递减区间为
；……………4分

（2）因为
，且
，令
，得到
，

①当
，即
时，
在区间
上单调递减，故
在区间
上的最小值为
，由
，得
，即
.……………6分

②当
，即
时，

ⅰ）若
，则
对
成立，
在区间
上单调递减，所以，
在区间
上的最小值为
，显然，
在区间
上的最小值小于0不成立. ……………8分

x













0







递减

极小值

递增



ⅱ）若
，即
时，则有（右表），

所以
在区间
上的最小值为
，

……………10分

由
，得
，解得
，即
.…………11分综上，由①②可知：
符合题意. ……………12分

22．解：（Ⅰ） F′（x）=a﹣
=
（x＞0），……………1分

当a≤0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）递减，无极值；

当a＞0时，由F′（x）＞0，可得x＞
，由F′（x）＜0，可得0＜x＜
，……………2分

x=
取得极小值．由F（x）有极值﹣1，即有1﹣ln
=1，解得a=1；……………3分

（Ⅱ）G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）=asin（1﹣x）+lnx，

G′（x）=﹣acos（1﹣x）+
，……………4分

因为G（x）在（0，1）上递增，

即有﹣acos（1﹣x）+
≥0在（0，1）上恒成立，

即a≤
在（0，1）上恒成立．……………5分

令h（x）=xcos（1﹣x），0＜x＜1，h′（x）=cos（1﹣x）+xsin（1﹣x）＞0，

h（x）在（0，1）递增，0＜xcos（1﹣x）＜1，即有
＞1，……………6分

则有a≤1．……………7分

（III）由（II）知，当a=1时，
在区间
上是增函数，

所以
,所以
，……………8分

令
，即
，则
……………9分

所以

……………10分

……………11分

故
。……………12分

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