2016届江西省宜春市奉新县第一中学高三上学期第二次月考

数学（理）试题

一、选择题：（5*12=60分）

1、已知集合
，则下列结论中正确的是：

A．
B．
C．
D．

2、已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为：

A．
B．
C．
D．

3、设甲：
的解集是实数集
；乙：
，则甲是乙成立的：

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4、已知函数

,则函数
满足：

A.
的最小正周期是
B.当

时,
的值域为

C.
的图象关于直线

对称 D.若
,则

5、要得到函数
的图象，只需将函数
的图象：

（A）向左平移
个单位 （B）向右平移
个单位

（C）向右平移
个单位 （D）向左平移
个单位

6、若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则
＝： A. B. C. D．1

7、有以下四个命题，其中真命题的个数为：

①
中，“
”是“
”的充要条件；

②若命题
，则
；

③函数
的单调递减区间是
；

④若函数
有相同的最小值，则

. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8、设函数
，给出以下三个结论：①
为偶函数；②
为周期函数；③
，其中正确结论的个数为：

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9、已知函数
是
上的奇函数,且
的图象关于直线
对称,当
时,
，则
：

A．-1 B．0 C．1 D．2

10、若关于
的方程
在
上有根，则实数
的取值范围是：

A．
B．
C．
D．

11、如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则
的值为：A. B. C. D.

12、若函数
的定义域为D内的某个区间
上是增函数，且
在
上也是增函数，则称
是
上的 “完美函数”，已知
，若函数
是区间
上的“完美函数”，则正整数
的最小值为：

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：（5*4=20分）

13、已知函数
,则
.

14、已知
，则
＝________.

15、已知
，
，
分别为△ABC三个内角
，
，
的对边，
，且
，则△
面积的最大值为________．

16、已知函数
，在下列四个命题中：①
是奇函数；②对定义域内任意
，
恒成立；③当
时，
取极小值；④
，正确的是：________，

三、解答题：（12+12+12+12+12+10=70分）

17、已知集合
，
，

(1)当
时，求
，
；

(2)若
＝
，求实数
的取值范围.

18、已知函数
，

(1)求
的最小正周期； (2）若
在
处取得最大值，求
的单调递增区间；

(3）求（2）中
在
上的值域。

19、在
中，角
对应的边分别是
，已知
，

(1)求角
的大小；

(2）若
的面积
，
，求
的值。

20、已知函数
，
．

(1）当
时，若
上单调递减，求
的取值范围；

(2）求满足下列条件的所有整数对
：存在
，使得
的最大值，
的最小值；

21、已知函数
．

（1）求
的单调区间与极大值；

（2）任取两个不等的正数
，且
，若存在
使
成立，求证：
；

（3）已知数列
满足
，
(n∈N+)，求证：
（
为自然对数的底数）．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22、在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆
、直线
的极坐标方程分别为
，
.

(1)求
与
交点的极坐标；

(2)设
为
的圆心，
为
与
交点连线的中点．已知直线
的参数方程为

，求
，
的值．

23、设函数

．

(1)证明：
；

(2)若
，求
的取值范围．

2016届高三上学期第2次月考（理科）数学参考答案

一、选择题：60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

C

A

C

B

D

C

B

A

C



二、填空题：20分

13： －2 ； 14：
15：  16： ② ④

三、解答题：12+12+12+12+12+10=70分

17、【解析】(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}，

B＝{x|1＜x＜4}，A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}，A∪(
B)＝{x|－1≤x≤5}.

(2)当a＜0时，A＝
，显然A∩B＝
，合乎题意.当a≥0时，A≠
，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}.由A∩B＝
，得，解得0≤a＜1.故实数a的取值范围是(－∞，1).

18、解：（1）

所以最小正周期为

（2）
，当
，
时取得最大值，将
代入上式，得
，
，
得
，所以
，
解得
，
，

所以
的单调增区间为
，

（3）由（2）得
，由
得
所以
得
，所以

19、解：（1）由条件有

即
又
，所以
，又
所以
，又
，故

（2）因为
，得
，又
，所以
由余弦定理得
，故
，

又由正弦定理得

20、解：(1）当
时，
，

若
，
，则
在
上单调递减，符合题意；

若
，要使
在
上单调递减，必须满足

∴
．综上所述，a的取值范围是

(2）若
，
，则
无最大值，故
，∴
为二次函数，

要使
有最大值，必须满足
即
且
，

此时，
时，
有最大值．又
取最小值时，
，

依题意，有
，则
，

∵
且
，∴
，得
，此时
或
．

∴满足条件的整数对
是
．

21、解：（Ⅰ）由已知有
=
，于是
．

故当x∈(-1，0)时，
>0；当x∈(0，+∞)时，
<0．

所以g(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g(x)的极大值是g(0)=0．

（Ⅱ）因为
，所以
=
，于是
=
=
=
=
，令
=t (t>1)，
，因为
，只需证明
．

令
，则
，∴
在
递减，所以
，

于是h (t)<0，即
，故
．仿此可证
，故
．

（Ⅲ）因为
，
，所以
单调递增，
≥1．

于是
，

所以
． （*）由（Ⅰ）知当x>0时，

所以（*）式变为
．即
(k∈N，k≥2)，

令k=2，3，…， n，这n-1个式子相加得

=

=

，

即
，所以
．

22、解；(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得

所以C1与C2交点的极坐标为，，注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．

故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝x－＋1，

所以解得a＝－1，b＝2.

23、解：(1)证明　由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.

所以f(x)≥2.

(2)解　f(3)＝＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3

当0

综上，a的取值范围是(，)．

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