苏州中学2015-2016学年度第一学期52阶采点

高三数学

本试卷满分160分，考试时间110分钟，所有答案都做在答题纸上。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1. 已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，
，则M∩N= ▲ .

2. 命题“
”的否定是_____ ▲ ____.

3．“
”是“
”的_____ ▲ ____条件。

4．函数
的值域为 ▲ .

5．已知函数y=
(3x2-2x+1)，求使
的
取值范围是 ▲ .

6. 计算(
)÷100
+
＝　　▲　.

7.已知定义在实数集
上的偶函数
在区间
上是单调增函数，则不等式
的解集为 ▲ ．

8.下列命题：

①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；

②“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；

③“全等三角形面积相等”的逆命题；

④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.

其中真命题序号为　　▲　　.

9．若函数
分别为R上的奇函数、偶函数，且满足
则三个数
的大小关系为 ▲ ．

10.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 ▲ .

11. 设等比数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*)．若S3，S9，S6成等差数列，则 的值

是 ▲ ．

12．函数
（其中e为自然对数的底数）存在一个极大值点和一个极小值点的充要条件是
∈ ▲ .

13．已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的右准线与x轴交于点A，点B的坐标为(0,a)，若椭圆上的点
满足
=3
，则椭圆C的离心率值为 ▲ .

14. 已知
是定义在
上的奇函数，
.当
时，

，则方程 的解的个数为____▲ _____.

二、解答题：本大题共4小题，共90分。

15. 设关于
的不等式
的解集为
，不等式
的解集为
.

(1)当
时,求集合
；

(2)若
,求实数
的取值范围.

16.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)满足：f(2)＝2，f(－2)＝0。

（1）求实数
的值；

(2) 若对任意实数x，都有f(x)≥x成立，求函数f(x)的表达式；

(3)在（2）的条件下，设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围．

17．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2，0)，点P在椭圆上(e为椭圆的离心率)．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若直线
和椭圆交于点C(C在第一象限内)，且点B也在椭圆上，
,若
与
共线，求实数
的值．

18.某公司是一家专做产品A的国内和国外同步销售的企业，每一批产品A上市销售40天就可以全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其中图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．

(1) 分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间的函数关系式，并写出每件产品A的销售利润q(t) 与第一批产品A的上市时间的函数关系式；

(2) 第一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？

① ② ③

19.设等比数列
的首项为
，公比为
为正整数），且满足
是
与
的等差中项；数列
满足
.

求数列
的通项公式；

试确定实数
的值，使得数列
为等差数列；

当数列
为等差数列时，对每个正整数
，在
和
之间插入
个2，得到一个新数列
.设
是数列
的前
项和，试求满足
的所有正整数
.

20. 已知函数g(x)＝mx2－2mx＋1＋n(n≥0)在[1，2]上有最大值1和最小值0.设f(x)＝(e为自然对数的底数)．

(1) 求m、n的值；

(2) 若不等式f(log2x)－2klog2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；

(3) 若方程f(|ex－1|)＋－3k＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

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高三数学附加题

本试卷每题10分，满分40分,考试时间25分钟。所有答案都做在答题纸上。

21.在平面直角坐标系xOy中，设圆x2＋y2＝1在矩阵A＝ 对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．

22.设直线
的参数方程为
(t为参数），若以直角坐标系
的
点为极点，
轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线
的极坐标方程为
．

(1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2）若直线
与曲线
交于A、B两点，求线段
的长度.

23.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

(1) 求张同学至少取到1道乙类题的概率；

(2) 已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

24.已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a＞0.

(1) 若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；

(2) 若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．

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高三数学答案

1.
2.
3.充分不必要 4.
5.

6.0 7.
8. ②④ 9.
10.

11.  12．
13．
14.4

15. (1)当
时, 由已知得
，

所以
. ………………………3分

由已知得
，所以
. …………6分

(2) 因为
，所以
. ………………………8分

①若
时,
，显然有
，所以
成立 。 ……………9分

②若
时, 因为
，所以
.

因为
，所以
，解得
。 ………………………11分

③若
时, 因为
，所以
.

因为
，所以
,解得
. ………………………13分

综上所述,
的取值范围是
. ……………………………………14分

16. (1)由
得， ∴ 4a＋c＝2b＝1，

∴ b＝. ………………………………4分

（2）
b＝，c＝1－4a，又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，

∴ a＞0，Δ＝－4a(1－4a)≤0，∴ (8a－1)2≤0，…………………………6分

解得a＝，b＝，c＝，∴ f(x)＝x2＋x＋.……………………………………8分

(2)g(x)＝x2＋x＋＞在x∈[0，＋∞)上必须恒成立，即x2＋4(1－m)x＋2＞0在x∈[0，＋∞)上恒成立．……………………………………10分

① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得1－＜m＜1＋；……………………11分

② 解得m≤1－. ……………………………………13分

综上，m∈.……………………………………14分

法二：由x2＋4(1－m)x＋2＞0在x∈[0，＋∞)上恒成立，

得
。……………………………………10分

当
时，
;……………………………………11分

当
时，
恒成立，因为
，当且仅当
，即
取等号，故
，

所以
。……………………………………13分

综上，m∈.……………………………………14分

17．解：(1) 由条件，知a＝2，e＝，将点P(2e，)代入椭圆方程，得＋＝1.

……………………3分

∵ b2＋c2＝4，∴ b2＝1，c2＝3.∴ 椭圆的方程为＋y2＝1. ……………………7分

(2) 法一：直线
的方程为
代入椭圆方程＋y2＝1得
，
，则
，……………………10分

故直线
的斜率
。

与
共线，
，……………………12分

解得
。

……………………14分

法二：把直线y＝kx，代入椭圆方程＋y2＝1，即x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2＝4，

∴ xC＝.则C(，)． ……………………10分

又直线AB方程为y＝k(x－2)，代入椭圆方程x2＋4y2＝4，

得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0.∵ xA＝2，

∴ xB＝，则B.……………………12分

∵ ·＝0，

∴ ·＋·＝0.∴ k2＝，

∵ C在第一象限，∴ k>0，k＝.……………………14分

18.(1) f(t)＝……………………………………2分

g(t)＝－t2＋6t，0≤t≤40. ……………………………………4分

q(t)＝……………………………………6分

(2) 这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为

Q(t)＝……………………………………10分

① 当0≤t≤20时，Q′(t)＝－t2＋48t＝≥0，

∴ Q(t)在区间[0，20]上单调递增，

此时Qmax(t)＝Q(20)＝6 000. ……………………………………12分

② 当20＜t≤30时，Q(t)＝－9＋6 400，t∈N*，

∴ Qmax(t)＝Q(27)＝6 399. ……………………………………14分

③ 当30＜t≤40，Q(t)＜Q(30)＝6 300.

综上所述，Qmax (t)＝Q(27)＝6 399.

答：第27天这家公司的日销售利润最大，最大值为6 399元．…………16分

19.（1）由题意
，则
，解得
或

因为
为正整数，所以
，

又
，所以
.……………………………………………… 5分

（2）当
时，
得
，

同理，
时，得
；
时，得
，

则由
，得
. ……………………………………………… 8分

而当
时，
，得
.

由
，知此时数列
为等差数列.…………………………………… 10分

（3）由题意知，

则当
时，
，不合题意，舍去；

当
时，
，所以
成立；

当
时，若
，则
，不合题意，舍去；从而
必是数列
中的某一项
，

则

，

又
，所以

，

即
，所以
，

因为
为奇数，而
为偶数，所以上式无解.

即当
时，
.

综上所述，满足题意的正整数仅有
.…………………………………… 16分

20.(1) g(x)＝m(x－1)2＋1＋n－m，

当m>0时，g(x)在[1，2]上是增函数，∴ 

即解得

当m＝0时， g(x)＝1＋n，无最大值和最小值；

当m<0时， g(x)在[1，2]上是减函数，∴ 

即解得

∵ n≥0，∴n＝－1舍去．

综上，m、n的值分别为1、0. …………………………………… 4分

(2) 由(1)知f(x)＝x＋－2，∴ f(log2x)－2klog2x≥0在x∈[2，4]上有解等价于log2x＋－2≥2klog2x在x∈[2，4]上有解，

即2k≤－＋1在x∈[2，4]上有解．…………………………………… 8分

令t＝，则2k≤t2－2t＋1，

∵ x∈[2，4]，∴ t∈.

记φ(t)＝t2－2t＋1，∵ ≤t≤1，∴ φ(t)max＝，

∴ k的取值范围为.…………………………………… 10分

(3) 原方程可化为|ex－1|2