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宝安中学2016届高三10月月考

数 学 (理科)

注意事项：

1、考生务必将自己的姓名、考好、考试科目星系等填涂在答题卷上；

2、选择题、综合题均完成在答题卷上；

3、考试结束，监考人员将答题卷收回。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合
，则
是( )

A.
B.

C.
D.

2.如果(3+i)z =10i（其中
，则复数z的共轭复数为( )

A. -1+3i B.1-3i C.1+3i D.-1-3i

3.设向量
，向量
，向量
，则向量
（ ）

A．－15 B.0 C. －11 D. －3

4.已知
为等比数列，下面结论中正确的是（ ）

A.
B.若
，则

C.若
，则
D.

5.已知双曲线
与抛物线

有一个公共的焦点
，且两曲线的一个

交点为
，若
，则双曲线的渐近线方程

为( )

A．
　B．

C．
D．
[:]

6.
的展开式
的系数是（ ）

A.-6 B.-3 C.0 D.3

7.如图所示的程序框图的输入值
，则输

出值
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.假如某天我校某班有3男2女五位同学均获某年北大、清华、复旦三大名校的

保送资格，那么恰有2男1女三位同学保送北大的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．四面体
的四个顶点都在球
的表面上，
平面
是边长为3的等边三角形，若
，则球
的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.函数
的图象是（ ）

[:.]

11．已知点
分别是正方
的棱
的中点，点
分别在线段
上. 以
为顶点的三棱锥
的俯视图不可能是（ ）

12．已知函数
对于
使得
成立，则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.已知函数
，若函数
为奇函数，则实数

14.在各项均不为零的等差数列
中，若
，

则

15．已知约束条件
若目标函数
恰好在点
处取到最大值，则
的取值范围为 ．

16.设抛物线
的焦点为
，过点
的直线与抛物线相交于
两

点，与抛物线的准线相交于
，
，设
与
的面积分别为
、
则

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

在
中，三个内角A，B，C所对的边分别是
，且
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围．

18.（本小题满分12分）

某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了l20份问巻。对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2 x2列联表:

做不到光盘

能做到光盘

合计



男

45

10

55



女

30

15

45



合计

75

25

100



（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为
，试求随机变量
的分布列和数学期望

（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由。

附：独立性检验统计量K2=
, 其中n=a+b+c+d，

独立性检验临界表：

P(K2
k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025



k0

1.323

2.072

2.706

3.840

5.024





19.（本小题满分12分）

如图,在直三棱柱
中，
平面
，

其垂足
落在直线
上．

（1）求证：
⊥

（2）若
，
，
为
的中点，

求二面角
的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知定圆
，动圆
过点
且与圆
相切，记圆心
的轨迹为

（1）求轨迹
的方程；

（2）设点
在
上运动，
与
关于原点对称，且
，当
的面积最小时，求直线
的方程。

21.（本题满分12分）

已知函数
的图象在点
处的切线的斜率为
.

(Ⅰ)求实数
的值;

(Ⅱ)设
,讨论
的单调性;

(Ⅲ)已知
且
,证明:

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一小题计分。作答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，过圆
外一点
作一条直线与圆
交于

两点，且
，作直线
与圆
相切于

点
，连结
交
于点
，已知圆
的半径为2，

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为:
（
为参数），M是C1上的动点，P点满足
,P点的轨迹为曲线C2.

(1)求C2的方程;

(2)在以O为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式
；

（2）对任意
，都有

成立，求实数
的取值范围.

数学理科参考答案：

一、选择题：1—4 CBDD 5—8 BABD 9-12 CACA

二．填空题：13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17.解（Ⅰ）由余弦定理可得：
，即
，

∴
，由
得
． ………5分

（Ⅱ）由
得，
，………6分

∴

．………9分

∵
，∴
，………10分

∴
，………11分

∴
的取值范围为
．………12分

18.解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘。……………………2分

因为
表示从这9份问卷中随机抽出的4份中能做到光盘的问卷份数，所以
有
的可能取值，又9份问卷中每份被取到的机会均等，所以随机变量
服从超几何分布，可得到随机变量的分布列为：

随机变量的分布列可列表如下：

…6分

所以
……………………8分

（2）

…10分

因为
,所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即精确的值应为
……………12分

19.(1)证明：
三棱柱
为直三棱柱，

平面
，又
平面
，

平面
，且
平面
，

. 又
平面
,
平面
,

，

平面
， 又
平面
，

⊥
………………5分

(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面
，其垂足
落在直线
上,

.

在
中，
，AB=2，

,

在直三棱柱
中，

. 在
中，

, ………7分

则
(0,0,0),
,C（2，0，0）,P（1，1，0）,
（0，2，2
）,

（0，2，2
）

设平面
的一个法向量

则
即
可得
………10分

设平面
的一个法向量
则
即

可得

平面
与平面
的夹角的余弦值是
………12分

（或
在
中，
，AB=2,则BD=1 可得D(

平面
与平面
的夹角的余弦值是
）

20.解：（Ⅰ）因为点
在圆
内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且
，所以b=1，所以轨迹E的方程为
．………4分

（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时
．………5分

（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为
，直线AB的方程为
，

联立方程
得
，

所以|OA|2=

．………7分

由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为
，

由
解得
，
=
，
，………9分

S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=
，

由于
，

所以
，………11分

当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是
，

因为
，所以△ABC面积的最小值为
，此时直线AB的方程为
或
．………12分

21.解：（Ⅰ）
所以
……1分

由题意
,得
……3分

(Ⅱ)
，所以
……4分

设

当
时，
，
是增函数，
，

所以
，故
在
上为增函数； ……………5分

当
时，
，
是减函数，
，

所以
，故
在
上为增函数；

所以
在区间
和
都是单调递增的。 ……………8分

(Ⅲ)因为
，由（Ⅱ）知
成立，

即
，………9分

从而
，即
所以
。…12分

22.解：（1）延长
交圆
于点
，连结
，则
，

又

，所以
，

又
可知
，所以

根据切割线定理得
，即
…………5分

（2）证明：过
作
于
，则
，从而有
，又由题意知

所以
，因此
，

即
……10分

23.解：（1）设P(x,y),则由条件知M(
).由于M点在C1上，所以

从而
的参数方程为
（
为参数）………5分

（2）曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
。

射线
与
的交点
的极径为
，

射线
与
的交点
的极径为
。

所以
.…………10分

24．解：（1）

-2 当
时，
, 即
，∴
；

当
时，
,即
,∴

当
时，