宝安中学2016届高三10月月考

数学（文科）

注意事项：

1、考生务必将自己的姓名、考号、考试科目信息等填涂在答题卷上；

2、选择题、综合题均完成在答题卷上；

3、考试结束，监考人员将答题卷收回。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
，那么复数z对应的点位于复平面内的（　　）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）设集合
，集合
，则
（　　）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）在
中，
，下列等式成立的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知正方形
的边长为2，
是
中点，在正方形
内部随机取一点
，则满足
的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）等差数列的公差为2，若
成等比数列，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）关于函数
，下列说法正确的是（ ）

（A）
是奇函数 （B）
最小正周期是

（C）
是
图像的一个对称中心

（D）
图像由
的图像向右平移
个单位得到

（7）如图程序框图中，若输入
，则输出a，i的值分别是（　　）

（A）12,4

（B）16,5

（C）20,5

（D）24,6

（8）设
分别是
中，
所对边的边长，则直线
与
的位置关系是（　　）

（A）平行 （B）重合 （C）垂直 （D）相交但不垂直

（9）函数
与
的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（10）如图三棱锥
，


，若侧面
⊥底面
，则其主视图与左视图面积之比为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（11）已知
，直线
平分圆
的周长，则
的最大值为（ ）

（A）6 （B）4 （C）3 （D）

（12）已知函数
，
，下列结论错误的是( )

（A）函数
的图象关于原点对称，函数
的图象关于y轴对称

（B）在同一坐标系中，函数
的图象在函数
的图象的下方

（C）函数
的值域是
（D）
在
恒成立

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）曲线
在点
处的切线方程为　 　 　　．

（14）设变量
满足
，若直线
经过该可行域，则k的最大值为　　 　　．

（15）长方体外接球半径为3，则长方体表面积的最大值为　　 　　．

（16）已知过抛物线
的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C，则
的面积的最小值为　　 　　．

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一1班同学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分制进行了测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人．

（Ⅰ）请求出70～80分数段的人数；

（Ⅱ）现根据测试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成搭档小组．若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“搭档组”，试求选出的两人为“搭档组”的概率．

（18）（本小题满分12分）在
中，角
所对的边分别为
且满足
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求
的值.

（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥
中，
平面
,
，已知
.

（Ⅰ）设
是
上一点，证明：平面
平面
；

（Ⅱ）若
是
的中点，求棱锥
的体积.

（20）（本小题满分12分）已知椭圆
：
上顶点为
，右顶点为
，离心率
，
为坐标原点，圆
：
与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
与椭圆
相交于
、
两不同点，若椭圆
上一点
满足
．求
面积的最大值及此时的
．

（21）（本小题满分12分）设函数
.

（Ⅰ）若函数
在其定义域上为增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，设函数
，若在
上存在
使
成立，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

是
的一条切线，切点为
，过
外一点
作直线
交
于
，连接
交
于
，连接
交
于
，连接
，已知

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程是
（
为参数），以原点
为极点，以轴正半轴
为极轴，圆
的极坐标方程为

（Ⅰ）将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与圆
交于
两点，点
的坐标为
，试求
的值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，且
，若
恒成立，

（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.

宝安中学2016届高三10月月考数学（文科）参考答案

选择题：1-5：CBDBB 6-10:CCCDA 11-12:AD

填空题：13、
14、1 15、72 16、4

解答题：

17、解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：50～60（分）的频率为0.1，60～70（分）的频率为0.25，80～90（分）的频率为0.15，90～100分的频率为0.05；……………（1分）

∴70～80（分）的频率为1﹣0.1﹣0.25﹣0.15﹣0.05=0.45，…………………………（2分）

∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05∴参加测试的总人数为
人．（4分）

∴70～80（分）数段的人数为40×0.45=18．……………………………………………（5分）

（Ⅱ）∵参加测试的总人数为
人，

∴50～60（分）数段的人数为40×0.1=4人．…………………………………………（6分）

设第一组50～60（分）数段的同学为A1，A2，A3，A4；第五组90～100分数段的同学为B1，B2，……………………………………………………………………………………………（7分）

则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15种；………………………………………………………………………………（9分）

其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种；………………………………………………………（11分）

则选出的两人为“搭档组”的概率为P=
．…………………………………………（12分）

18、解：（Ⅰ）

即
………………………………………………………………（4分）

……………………………………………（5分）

…………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由余弦定理
得
①……………（8分）

又
，即
②…………………………（10分）

由①②解得
…………………………………………………………（12分）

19、解：（Ⅰ）在
中，

…………………………（2分）

又
平面
，
平面
………………………………（4分）

又
平面
……………………………………………………（5分）

又
平面
平面
平面
.………………………………………（6分）

（Ⅱ）
…………………………………………………………………………………（12分）

20、解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：
，即为bx+ay﹣ab=0

因为圆O与直线AB相切，所以
，
①………………………（2分）

设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，
，

所以
②…………………………………………………………………………（3分）

由①②得：a2=2，b2=1

所以椭圆C的标准方程为：
…………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由
可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0

设E（x1，y1），F（x2，y2）

则
，
…………………………………………………（7分）

所以

又点O到直线EF的距离
，

∵OP∥l，∴
=
……………………（9分）

又因为
，又k≠0，∴

令t=1+2k2∈（1，2），则
，

所以当
时，
最大值为

所以当
时，△EPF的面积的最大值为
…………………………………………（12分）

21、解：（Ⅰ）因为函数f(x)在其定义域上为增函数，即f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，

所以1＋－≥0恒成立，即a≤x＋.……………………………………………（2分）

又x＋≥2 ＝2(当且仅当x＝1时取等号)…………………………………（4分）

故a的取值范围为(－∞，2]．………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由在[1，e]上存在x1，x2使f(x1)≥g(x2)成立，可知当x∈[1，e]时，f(x)max≥g(x)min.……………………………………………………………………………（6分）

又因g′(x)＝1－，所以当x∈[1，e]时，g′(x)≥0，即函数g(x)在区间[1，e]上是单调递增的函数，最小值为g(1)＝1－ln 1－＝1－.………………………………（8分）

由(1)知f′(x)＝，因为x2>0，又函数

y＝x2－ax＋1的判别式Δ＝(－a)2－4×1×1＝a2－4，

(ⅰ)当a∈[－2,2]时，Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，即函数f(x)在区间[1，e]上是单调递增的函数，故函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为f(e)＝e－－a，故有f(e)≥g(1)，即e－－a≥1－，解得a≤e－1.

又a∈[－2,2]，所以a∈[－2，e－1]；…………………………………………（10分）

(ⅱ)当a<－2时，Δ>0，f′(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，

此时x1<0，x2<0.故函数f(x)在区间[1，e]上是单调递增的函数．由(ⅰ)知，a≤e－1，又a<－2，故a<－2.

综上所述，a的取值范围为(－∞，e－1]．………………………………………（12分）

22、

解答： 证明：（Ⅰ）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，

∴AB2=AD?AE，

又∵AB=AC，

∴AC