2016届福建省达标校高三上学期检测卷（一）数学文试题

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答．

1．设
，则
（）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
定义域是
，则
的定义域（）

A．
B．
C．
D．

3．定义在R上的函数g(x)＝ex＋e－x＋|x|，则满足g(2x－1)

A．(－∞，2) B．(－2，2) C．(－1，2) D．(2，＋∞)

4．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是(　　)

A. B. C. D.

5．将函数
图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移
个单位，

纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）

A
B.
C
D

6．函数
的图象大致是（）

7．若不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)

A．(－4，2) B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－2，0)

8．下列四个命题：

?x∈(0, ＋∞), (
)x＜(
)x； ?x∈(0, 1), log
x＞log
x；

?x∈(0, ＋∞), (
)x＞log
x； ?x∈(0,
), (
)x＜log
x.

其中真命题是（）

A． B． C． D．

9.点M，N分别是正方体ABCD - A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图、左视图、俯视图依次为(　　)

A．①③④ B．②④③ C．①②③ D．②③④

10．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)

A． f(1)

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答．

13.若函数
在其定义域上为奇函数，则实数
．

14．定义在R上的奇函数
满足
则
= ．

15．如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为，点P为椭圆在第一象限内的一点．若
，则直线PF1的斜率为________．

16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx＋2m和曲线C：y＝有两个不同的交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈，则实数m的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．

17．（本小题满分10分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．

(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；

(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率．

18．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系
中，点
在单位圆
上，
，且
．

（1）若
，求
的值；

（2）若
也是单位圆
上的点，且
．过点
分别做
轴的垂线，垂足为
，记
的面积为
，
的面积为
．设
，求函数
的最大值．

19．（本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，

折起后使∠ADC的余弦值为.

（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；

（2）若
是
的中点，求三棱锥
的体积。

20．（本小题满分12分）椭圆
的上顶点为
是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到

直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由.（12分）

21．（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：
的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：
相切于点Q．

（Ⅰ）当直线PQ的方程为
时，求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）当正数
变化时，记S1 ，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求
的最小值．

22．（本小题满分12分）设
是定义在
上的奇函数，函数
与
的图象关于
轴对称，且当
时，
．

（1）求函数
的解析式；

（2）若对于区间
上任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．

福建省达标校2016届高三检测卷

文科数学参考答案（一）

选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

C

B

A

A

D

C

B

D

A

B





填空题（每小题5分，共20分）

13.
14．
15.
16.

三、解答题（共70分）

17. （1）解：从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2)解：在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则抽取2名教师的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝＝.

18.（1）由三角函数的定义有
∵
，

∴
， ∴

．

（2）由
，得
．

由定义得
，
，又
，于是，

∴
=

=
=
=

，即
．

19. (1)证明　在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5，∴OA＝4，OD＝3，翻折后变成三棱锥A－BCD，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos ∠ADC＝25＋25－2×5×5×＝32，

在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC，

又AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD，又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.

(2)
是
的中点，所以
到平面
的距离相等，

解(1)因为
得

，

故所求椭圆方程

(2)当直线
斜率存在时，设直线
代入椭圆方程得

假设存在

对任意
恒成立

当直线
斜率不存在时，经检验符合题意

综上可知存在两个定点
使它们到直线距离之积等于1.

21. （Ⅰ）设点
，由
得，
，求导
， ……2分

因为直线PQ的斜率为1，所以
且
，解得
，

所以抛物线C1 的方程为
．

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：
，即
，

根据切线又与圆相切，得
，即
，化简得
，

由
，得
，由方程组
，解得
，

所以
，

点
到切线PQ的距离是
，

所以
，
，

所以

，

当且仅当
时取“＝”号，即
，此时，
，

所以
的最小值为
．

22. （1） ∵
的图象与
的图象关于y轴对称，

∴
的图象上任意一点
关于
轴对称的对称点
在
的图象上．

当
时，
，则

∵
为
上的奇函数，则
．

当
时，
，

∴

（1）由已知，
．

①若
在
恒成立，则
．

此时，
，
在
上单调递减，
，

∴
的值域为
与
矛盾．

②当
时，令
，

∴ 当
时，
，
单调递减，

当
时，
，
单调递增，

∴
．

由
，得
．

综上所述，实数
的取值范围为

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