大庆铁人中学高三年级上学期阶段考试

理科数学试题

满分：150分 考试时间:120分钟 命题人：王亚辛 审题人：王树权 2015.10

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。请考生把答案填写在答题纸相应位置上。）

1.设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N等于(　　)

A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}

2.设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若┑p是┑q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0，] B．(0，) C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)

3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)

A．2 B．4 C．2 D．4

4．角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于(　　)

A. B. C．－ D．－

5．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)

A．f(3)

6．已知
满足约束条件
，若
的最大值为4，则
=（　　）

A．

3

B．

2

C．

﹣2

D．

﹣3



7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．

﹣
或﹣

B．

﹣
或﹣

C．

﹣
或﹣

D．

﹣
或﹣



8．若函数
在
上有最小值－5，（
，
为常数），则函数
在
上（ ）

A．有最大值9 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最大值5

9．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b－3(x∈R)图象恒过点(2,0)，则a2＋b2的最小值为(　　)

A．5 　 B.　　 C．4 　 D.

10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)<0}，则(　　)

A．?m∈A，都有f(m＋3)>0 B．?m∈A，都有f(m＋3)<0

C．?m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D．?m0∈A，使得f(m0＋3)<0

11．设函数

，则函数
的各极大值之和为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．当
时，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－5，－3] B．[－6，－] C．[－6，－2] D．[－4，－3]

　第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。请考生把答案填写在答题纸相应位置上。）

13．已知f(x)＝则f(log27)＝________.

14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.

15．设1

16．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若?x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是____________．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

已知
中, 角
对边分别为
,已知
.

(1)若
的面积等于
,求

(2)若
,求
的面积.

18．（本小题满分12分）

关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，

BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．

(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．

20．（本小题满分12分）

抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

(1)若＝2，求直线AB的斜率；

(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知曲线
在点
处的切线的斜率为1.

(1)若函数f(x)的图象在
上为减函数，求
的取值范围；

(2)当
时，不等式
恒成立，求a的取值范围．

22．（本小题满分12分）

设函数f(x)＝－k(＋ln x)(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．

参考答案

DADBA BDABA DC

　 2.5

()2<< 　[－，＋∞)

17.解

18.解法一　设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，

①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，

又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则

∴∴∴－≤m≤－1.

由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．

方法二　显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，

0

∴y＝x＋在(0,2]的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m≥2，∴m≤－1，

故m的取值范围是(－∞，－1]．

19.(1)证：取A1B1的中点F1，连接FF1，C1F1，

由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1，即为平面C1CFF1，

连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.

又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1，

故EE1∥平面FCC1.

(2)取FC的中点H，

由于FC＝BC＝FB，所以BH⊥FC.又BH⊥CC1，所以BH⊥平面FCC1.

过H作HG⊥C1F于G，连接BG.由于HG⊥C1F，BH⊥平面FCC1，所以C1F⊥BHG，因此BG⊥C1F，所以∠BGH为所求二面角的平面角，在Rt△BHG中，BH＝，又FH＝1，且△FCC1为等腰直角三角形，所以HG＝，BG＝＝，因此cos∠BGH＝＝＝，即所求二面角的余弦值为.

20.　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因为＝2，所以

y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.

所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.

因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|＝＝4，

所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.

21.解　(1)因为
，由题可知

，

（2）令

当
，即
，
，
在
上递减，则

22.(理科)解　(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝－k(－＋)＝－＝.

由k≤0可得ex－kx>0，

所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．

所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．

(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．所以g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，当00，y＝g(x)单调递增．故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点．当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减；x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得e

综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e，)．

（文科）解（Ⅰ）
时，
，
。当
时
;当
时，
;当
时，
。故
在
，
单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）
。令
，则
。

若
，则当
时，
，
为减函数，而
，

从而当x≥0时
≥0，即
≥0.

若
，则当
时，
，
为减函数，而
，

从而当
时
＜0，即
＜0.

综合得
的取值范围为
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