西安市第七十中学2016届高三10月月考

数学理试题

分值：150 分 时间：120 分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）

1．设集合M＝{x|2x2－2x<1}，N＝{x|y＝lg(4－x2)}，则(　　)

A．M∪N＝M B．(?RM)∩N＝R

C．(?RM)∩N＝? D．M∩N＝M

2．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　)

A．充分非必要条件 B．充分必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分必要条件

3．函数y＝的图象大致是 (　　)

4．若函数f(x)＝
若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围(　　)

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

5．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，(　　)

A．f(－25)

C．f(11)

6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为

y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 (　　)

A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件

7．已知f(x)＝2x3－6x2＋a (a是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f(x)的最小值是 (　　)

A．－5 B．－11 C．－29 D．－37

8．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为 (　　)

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1,2)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)

9．如图所示的曲线是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于 (　　)

A. B. C. D.

10．已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)>0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)

A. B.

C. D.

11.函数
，则
的自变量
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝______.

14、
＝________.

15．函数
的定义域为A，若
且
时总有
，则称
为单函数．例如，函数
=2x+1(
)是单函数．下列命题：

①函数
（x
R）是单函数；

②若
为单函数，
且
，则
；

③若f：A→B为单函数，则对于任意
，它至多有一个原象；

④函数
在某区间上具有单调性，则
一定是单函数．

其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）

16、设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝()1－x，则

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在 (1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3,4)时，f(x)＝()x－3.

其中所有正确命题的序号是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17、（本小题满分10分）

已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数；命题q：

当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋>恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，

求c的取值范围．

18、（本小题满分12分）

经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|(元)．

(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；

(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

19、（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3x (x∈R)．

(1)若a＝1，点P为曲线y＝f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程；

(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

20、（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有且只有一个交点，求m的取值范围．

21、（本小题满分12分）

在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

22、（本小题满分12分）

设函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．

(1)求a和b的值；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)设g(x)＝x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小．

 高三年级（理科）数学答案

客观题：每小题 5 分，共 60 分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

D

C

D

C

D

D

C

A



题号

11

12



















答案

D

B



















主观题答案

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ）

13. －3 14. π＋2

15． ②③ 16.①②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(10分）∵函数y＝cx为减函数，

∴0

函数f(x)＝x＋>对∈[，2]恒成立，

f(x)min＝2＝2，

当x＝，即x＝1∈[，2]时，有<2，得c>，即q真时，c>.

∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．

①p真q假时，0

②p假q真时，c≥1.

故c的取值范围为0

18.（12分）解　(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－|t－10|)＝(40－t)(40－|t－10|)

＝

(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，

在t＝5时，y取得最大值为1 225；

当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1 200]，

在t＝20时，y取得最小值为600.

所以第5天，日销售额y取得最大值为1 225元；

第20天，日销售额y取得最小值为600元．

19．（12分）(1)设切线的斜率为k，

则k＝f′(x)＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，

当x＝1时，kmin＝1.

又f(1)＝，∴所求切线的方程为y－＝x－1，

即3x－3y＋2＝0.

(2)f′(x)＝2x2－4ax＋3，要使y＝f(x)为单调递增函数，必须满足f′(x)≥0，即对任意的x∈(0，＋∞)，恒有f′(x)≥0，f′(x)＝2x2－4ax＋3≥0，∴a≤＝＋，而＋≥，当且仅当x＝时，等号成立．

∴a≤，又∵a∈Z，

∴满足条件的最大整数a为1.

20．（12分）

.解　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，

当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，

∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，

解得x<－或x>.

由f′(x)<0，解得－

∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调减区间为(－，)．

(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，

∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.

∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，

由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.

由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，

结合如图所示f(x)的图像可知：

实数m的取值范围是(
，－3)
（1，
)．

21．（12分）解　S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－?x2dx＝t3.

S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝?x2dx－t2 (1－t)＝t3－t2＋.

所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．

令S′(t)＝4t2－2t＝4t(t-)＝0时，得t＝0或t＝.

t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.

所以当t＝时，S最小，且最小值为.

22．（12分）解　(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx

＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，

又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，

所以f′(－2)＝f′(1)＝0，

因此

解方程组得

(2)因为a＝－，b＝－1，

所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，

令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.

因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；

当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的；

在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．

(3)由(1)可知f(x)＝x2ex－1－x3－x2，

故f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3

＝x2(ex－1－x)，

令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1.

令h′(x)＝0，得x＝1，

因为x∈(－∞，1]时，h′(x)≤0，

所以h(x)在x∈(－∞，1]上单调递减．

故x∈(－∞，1]时，h(x)≥h(1)＝0.

因为x∈[1，＋∞)时，h′(x)≥0，

所以h(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增．

故x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0.

所以对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0，

又x2≥0，因此f(x)－g(x)≥0，

故对任意x∈(－∞，＋∞)，

恒有f(x)≥g(x)．

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