“四校”2015—2016学年度高三第一次联考

理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知集合
，
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

2、在复平面内，复数
的共轭复数的虚部为（ ）．

A．
B．
C．
D．

3、下列命题中的假命题是（ ）．

A．
B．

C．
D．

4、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出
的值是（ ）．

A．
B．
C．
D．

5、已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）．

A．
B．
C．
D．

6、下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是（ ）．

A．
? B．
???

C．
??? D．

7、已知
是实数，则函数
的图像不可能是（ ）．

A. B．　　　　　　　　　　　C. D.

8、已知点
，若动点
满足
，则
的最小值为（ ）．

A．
(B．
C．5 D．以上都不正确

9、已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）．

A．
B．
C．
或
D．
或

10、某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，

则该三棱锥的体积为（ ）．

A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

11、定义在R上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点之和为

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
,
，若对任意的
,存在实数
满足

，使得
，则
的最大值为( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13、在等比数列
中，
，
，则
．

14、设A＝
，则
=

15、已知矩形
的周长为
，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 .

16、设
为实数，若
则
的最大值是_________.

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17. (本题满分12分)在
中，角
的对边分别是
满足

（1）求角
的大小；

（2）若等差数列
的公差不为零，且
，且
成等比数列，

求
的前
项和
.

18、(本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为
）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（Ⅰ）求样本容量
和频率分布直方图中
的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设
表示所抽取的3名同学中得分在
的学生个数，求
的分布列及其数学期望．

19．(本小题满分12分)

在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
，
是
的中点，
与
交于点
，且
平面
.

(1)证明：
；

(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆
，设
是椭圆
上任一点，从原点
向圆
作两条切线，切点分别为
.

（1）若直线
互相垂直，且
在第一象限，求圆
的方程；

（2）若直线
的斜率都存在，并记为
，求证：

21.（本小题12分）设函数
.

（I）若
处的切线为
，
的值；

（II）求
的单调区间；

（Ⅲ）若
，求证：在
时，

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
.

（1） 求
长；

（2）当
⊥
时，求证：
.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
为参数），以该直角坐标系的原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆
的方程为
．

（Ⅰ）求直线
的普通方程和圆
的圆心的极坐标；

（Ⅱ）设直线
和圆
的交点为
、
，求弦
的长．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
时，
，求
的取值范围．

“四校”2015—2016学年度高三第一次联考

理科数学评分标准

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

B

B

B

C

C

C

C

B

A



二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．
14．
15．
16．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、【解】(1)∵
， ∴
. …………1分

∴
. …………2分

又
…………3分

∴
. …………4分

(2)设
的公差为
， 由已知得
， …………5分

且
.∴
． …………6分

又
, ∴
. ∴
. …………7分

∴
. …………9分

∴
…………10分

…………12分

18、【解】（Ⅰ）由题意可知，样本容量
，
，

． …………3分

（Ⅱ）由题意可知，分数在
有5人，

分数在
有2人，共7人． …………4分

抽取的3名同学中得分在
的学生个数
的可能取值为
，…………5分

则
， …………6分

， …………7分

． …………8分

所以，
的分布列为

1

2

3













所以，
． …………12分

19、【解】(1)由题意
，
，…………1分

又
，
，

，
，

，
. …………3分

又
，

， …………4分

，

， …………5分

又
，
. …………6分

(2)如图，分别以
所在直线为
轴，以
为坐标原点，建立如图所示的

空间直角坐标系
， …………7分

则
，
, …………8分

，

设平面
的法向量为
，

则
，即
，

令
，则
，
，所以
. …………10分

设直线
与平面
所成角为
，则

， …………11分

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. ……………………12分

20、【解】（1）由题圆
的半径为
因为直线
互相垂直，且与圆
相切，

所以
，即
① …………1分

又
在椭圆
上，所以
② …………2分

由①②及
在第一象限，解得
…………3分

所以圆
的方程为：
…………4分

（2）证明：因为直线
均与圆