“四校”2015—2016学年度高三第一次联考试题

文科数学

本试卷共4页，24小题， 满分150分．考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和学号填写在答题卷上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先填选做题题号，再作答．漏填的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡、答题卷的整洁．考试结束后，将试卷与答题卷一并交回．

参考公式：半径为R的球的表面积公式：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合
若
则
等于（　　）

A．1 　　　　　 B．2 　　　　　C． 3　　　　　 　 D． 1或2

2、已知
为虚数单位，且
，则实数
的值为（ ）

A．1 B．2 C．1或-1 D．2或-2

3、双曲线
的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、函数
的图像的一条对称轴方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

5、设
，
，若
，则（ ）

A．
为无理数 B．
为有理数 C．
D．

6、设函数
，
的定义域都为R，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．
是偶函数 B．
是奇函数

C．
是奇函数 D．
是奇函数

7、已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中恒成立的是( )

A．
B．
C．
D．

8、我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A、1365石 B、338石

C、169石 D、134石

9、对任意非零实数
，定义
的算法原理如程序框图所示。设
为函数

的最小值，
为抛物线
的焦点到准线的距离，则计算机执行该运算后输出结果是( )

10、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正 三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11、已知满足
的
使
恒成立，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C.
D.

12、若函数
有且仅有两个不同零点， 则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．不确定

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13、如图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．

14、已知等比数列｛
｝为递增数列.若
＞0，且
，则数列｛
｝的公比
=_____.

15、 设
的内角
的对边分别为
,且

,则
=____.

16、若正数x，y满足
，则
的最小值是 ．

三、解答题：本大题共8小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17、(本小题满分12分)

等差数列
中，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求
的值．

18、（本题满分12分）

空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：
）为
时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为
时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为
时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为
时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为
时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为
以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年8月某日某省
个监测点数据统计如下：

空气污染指数

(单位：
)






[





监测点个数

15

40



10



（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出
的值，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）在空气污染指数分别为
和
的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？

19、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，
平面
,
平面
，
，
.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面

平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积；

20、（本小题满分12分）

设椭圆
：
(
)的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，且内切于圆
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知
，
是椭圆
的下焦点，在椭圆
上是否存在点P，使
的周长最大？若存在，请求出
周长的最大值，并求此时
的面积；若不存在，请说明理由。

21、（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的极值；

（2）若对于任意的
，若函数
在区间
上有最值，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

22、选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）

如图，
是圆
的直径，
是弦，
的平分线
交圆
于点
，
，交
的延长线于点
，
交
于点
.

（1）求证：
是圆
的切线；

（2）若
的半径为2，
，求
的值.

23、选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线
过点
且倾斜角为
，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，直线
与曲线
相交于
两点；

（1）求曲线
的直角坐标方程；

（2）若
，求直线
的倾斜角
的值。

24、选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）

设函数
。

（1）求不等式
的解集；

（2）若存在x使不等式
成立，求实数a的取值范围。

“四校”2015—2016学年度高三第一次联考

文科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

A

C

A

C

D

C

B

A

C

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13、
14、2 15、4 16、5

三、解答题：本大题共8小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17、解：（I）设等差数列
的公差为
。

由已知得
解得
……………………4分

所以
……………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
……………9分

∴
…………………12分

18、解：（Ⅰ）

，
……2分

，

，

频率分布直方图如图所示…5分

（Ⅱ）在空气污染指数为
和
的监测点中分别抽取4个和1个监测点。设空气污染指数为
的4个监测点分别记为a,b,c,d；空气污染指数为
的1个监测点记为E。从中任取2个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d),

(b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共10种，…8分

其中事件A“两个都为良”包含的 基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),( b,c),(b,d),(c,d)共6种， ……10分

所以事件A“两个都为良”发生的概率是
. ……12分

19、（Ⅰ）证明：∵
平面
,
平面
∴
…………2分

∵

平面
，CD
平面
，∴
∥平面
…………4分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，所以
.又因为
，
,
，

所以
平面
. …………… …………7分

又因为
平面
， 所以平面

平面
. ………………8分

（Ⅲ）解：∵
平面
，∴
是三棱锥
的高； …………9分

在
中，
，∴

∴四棱锥
的体积

……12分

20、解：（1）∵双曲线
的离心率为
，∴椭圆M的离心率为

…………………………2分

∵椭圆M内切于圆

得：


…………………………4分

所求椭圆M的方程为
．……………………5分

（2）椭圆M的上焦点为
，由椭圆的定义得：

的周长为

当且仅当点P在线段
的延长线上时取等号。

∴在椭圆M上存在点P，使
的周长取得最大值
， ……………9分

直线
的方程为
，由

∵点P在线段
的延长线上，∴点P的坐标为
，…………………11分

的面积
…………………12分

解：（1）由已知得
的定义域为
，且
，…………2分

当
时，
，

∴
在
单调增，
无极值；…………3分

当
时，

由
由

∴
…………4分

∴
,无极小值。 …………………5分

综上：当
时，
无极值；

当
时，
，无极小值。 …………6分

（2）

在区间
上有最值，

在区间
上有极值，即方程
在
上有一个或两个不等实根，

又
…………………………9分

由题意知：对任意
恒成立，

因为

对任意
，
恒成立

∴
∵
∴

………………………………12分

22、（1）连接
，可得
，∴
，…………3分

又
，∴
，又
为半径，

∴
是圆
的切线 ………………………………5分

（2）连结BC，在
中，
…7分

又∵

由圆的切割线定理得：
…………………10分

23、解：（1）

∵
…3分

∴
，

∴曲线
的直角坐标方程为
。………………………5分

（2）当
时，
，∴
，∴
舍 …………6分

当
时，设
，则
，

∴圆心
到直线
的距离

由

……………………………10分

24、解：(Ⅰ)由
得
，

∴

∴不等式
的解集为
………………………………4分

(Ⅱ)令

则
，∴
…………………………8分

∵存在x使不等式
成立，∴
…………10分

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