唐山市2015—2016学年度高三年级摸底考试

理 科 数 学

注意事项：

一、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

二、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．

三、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．

四、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有

且只有一项符合题目要求．

（1）已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|x2－2x≥0}，则
∩N＝

（A）(－∞，－2] （B）(－∞，0]

（C）[0，1) （D）[－2，0]

（2）已知
（i为虚数单位），则实数b＝

（A）
（B）－6 （C）－2 （D）2

（3）已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X≤0)＝

（A）0.16 （B）0.32

（C）0.68 （D）0.84

（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）2 （B）

（C）4 （D）

（5）函数f(x)＝
sinx－cosx（x∈[0，π]）的单调递减区间是

（A）[0，
] （B）[
，
]

（C）[
，π] （D）[
，
]

（6）x，y满足约束条件? 目标函数z＝2x＋y，则z的取值范围是

（A）[－3，3] （B）[－3，2]

（C）[2，＋∞) （D）[3，＋∞)

（7）非零向量a，b满足|a|＝
|b|，且(a－b)⊥(2a＋3b)，则a与b夹角的大小为

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）曲线y＝
与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为

（A）
（B）

（C）
（D）

（9）执行如右图所示的程序框图，若输入a＝390，b＝156，则输出a=

（A）156 （B）78

（C）39 （D）26

（10）已知双曲线Γ：
（a＞0，b＞0）的右顶点为A，与x轴

平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为 2，则

（A）θ∈(0，
) （B）θ＝

（C）θ∈(
，π) （D）θ＝

（11）若函数
＝ex－ax2有三个不同零点，则a的取值范围是

（A）(
，＋∞) （B）(
，＋∞)

（C）(1，
) （D）(1，
)

（12）在三棱锥A-BCD中，AC＝BD＝3，AD＝BC＝4，AB＝CD＝m，则m的取值范围

是

（A）(1，5) （B）(1，7)

（C）(
，7) （D）(
，5)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）(x＋2)5的展开式中含x3的项的系数是____．（用数字作答）

（14）若函数
为奇函数，则m＝____．

（15）斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，O为原点，M是

线段AB的中点，F为C的焦点，△OFM的面积等于2，则k＝______．

（16）△ABC中，∠A＝60?，M为边BC的中点，AM＝
，则2AB＋AC的取值范围是

________．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题

为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

正项等差数列
满足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比数列，
的前n项和为
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前n项和Tn．

（18）（本小题满分12分）

某加油站工作人员根据以往该加油站

的销售情况，绘制了该加油站日销售量的

频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概

率，并假设每天的销售量相互独立．

（Ⅰ）求未来3天内，连续2天日销量

不低于40吨，另一天日销量低于40吨的

概率；

（Ⅱ）用X表示未来3天内日销售量

不低于40吨的天数，求随机变量X的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）

在四棱锥P-ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面

ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝
AB＝2，

且平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角A－PD－C的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－
，0)，F2(
，0)，且椭圆C过点P(3，2)．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与y轴围成一个等腰三角形．

（21）（本小题满分12分）

设f(x)＝lnx＋a(x2－1)－2(x－1)．2

（Ⅰ）若a＝0时直线y＝mx＋1与曲线y＝f(x)相切，求m的值；

（Ⅱ）已知(x－1)f(x)≥0，求a的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．

（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；

（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE＝3OA，求∠AEB

C的大小．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

曲线C的参数方程为
?（α为参数）．以坐标原点

O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2cosθ与

极轴交于O，D两点．

（Ⅰ）分别写出曲线C1的极坐标方程及点D的极坐标；

（Ⅱ）射线l：θ＝β (ρ＞0，0＜β＜π)与曲线C1，C2 分别交于点A，B，已知△ABD

的面积为
，求β.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式|x－3|＋|x－5|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．

（Ⅰ）求t；

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＝max{
，
}，求证：c≥1．

注：maxA表示数集A中的最大数．

唐山市2015—2016学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案

选择题：

BCADC CDABB AD

二、填空题：

（13）40 （14）1 （15） （16）(2，4)

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）设数列{an}公差为d（d＞0），由已知得：a2(2a7－8)＝(a4＋2)2，

化简得：d2＋4d－12＝0，解得：d＝2或d＝－6（舍），

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2． …5分

（Ⅱ）因为Sn＝＝＝n2＋3n，

所以bn＝＝＝＝－，

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝－＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于40吨的频率为：

10×(0.025＋0.015)＝0.4，

记未来3天内，第i天日销售量不低于40吨为事件Ai（i＝1，2，3），则P(Ai)＝0.4，

未来3天内，连续2天日销量不低于40吨，另一天日销量低于40吨包含两个互斥事件A1A23和1A2A3，则：

P(A1A23∪1A2A3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)

＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …6分

（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，相应的概率分别为：

P(X＝0)＝(1－0.4)3＝0.216，

P(X＝1)＝C×0.4×(1－0.4)2＝0.432，

P(X＝2)＝C×0.42×(1－0.4)＝0.288，

P(X＝3)＝0.43＝0.064，

X的分布列为

X

0

1

2

3



P

0.216

0.432

0.288

0.064



E(X)＝3×0.4＝1.2． …12分

（19）解：

（Ⅰ）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，则DE∥BC，且DE＝BC．

故DE＝AB，即点D在以AB为直径的圆上，所以BD⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD． …5分

（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，连接OE，则OE∥BD，∴OE⊥AD．

以O为原点，分别以OA，OE，OP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得OE＝BD＝，

则A(1，0，0)，D(－1，0，0)，E(0，，0)，P(0，0，)，

＝＝(－1，，0)，＝(1，0，)．

取平面PAD的一个法向量为n＝(0，1，0)，

设平面PDC的一个法向量为m＝(x，y，z)，

由·m＝0，·m＝0得：

令y＝1，得m＝(，1，－1)，

所以cos?m，n?＝＝，

因为二面角A－PD－C的平面角为钝角，

所以二面角A－PD－C的余弦值为－． …12分

（20）解：

（Ⅰ）设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由题意可得解得

故椭圆C的方程为＋＝1． …5分

（Ⅱ）直线OP方程为2x－3y＝0，设直线AB方程为2x－3y＋t＝0（t∈R，且t≠0）．

将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得8x2＋4tx＋t2－72＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

当Δ＝16t2－32(t2－72)＝16(144－t2)＞0，即0＜|t|＜12时，

有x1＋x2＝－，x1x2＝． ①

所以

kPA＋kPB＝＋＝＋＝．

将①代入上式得kPA＋kPB＝0．

故直线PA，PB与y轴围成一个等腰三角形． …12分

（21）解：

（Ⅰ）当a＝0时，f(x)＝lnx－2(x－1)，f?(x)＝－2．

设切点为(x0，y0)，

则解得

直线y＝mx＋1过点(1，0)，解得m＝－1． …5分

（Ⅱ）f?(x)＝＋2ax－2．

（ⅰ）若a＞0，则f?(x)＝＋2ax－2≥2(－1)，当且仅当x＝时等号成立．

当a≥时，f?(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)单调递增．

又f(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，f(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0．

于是有(x－1)f(x)≥0．

当0＜a＜，记x1＝，则x1＞1，当x∈(1，x1)时，f?(x)＜0，

所以f(x)在(1，x1)单调递减，此时f(x)＜0，即(x－1)f(x)＜0．

（ⅱ）若a＝0，则当x∈(，1)时，f?(x)＜0，f(x)在(，1)单调递减，

此时f(x)＞f(1)＝0，即(x－1)f(x)＜0．

（ⅲ）若a＜0，记x2＝，则0＜x2＜1．

当x∈(x2，1)时，f?(x)＜0，所以f(x)在(x2，1)单调递减，

此时f(x)＞f(1)＝0，即(x－1)f(x)＜0．

综上，a取值范围是[，＋∞)． …12分

（22）解：

（Ⅰ）连BD，与OC交于点F，

因为AB为圆O的直径，所以AD⊥BD，

又AD∥OC，故OC⊥BD，且BF＝DF，

所以CD＝CB，连OD，则△OCD≌△OCB，

由CB⊥OB得CD⊥OD，CD是圆O的切线． …5分

（Ⅱ）设OA=1，AD＝x，则AB＝2，AE＝x＋3，

由AB2＝AD?AE，即x(x＋3)＝4得，x＝1．

则∠OAD＝60°，∠AEB＝30°． …10分

（23）解：

（Ⅰ）曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，

将其化为极坐标方程为ρ＝4cosθ．

在曲线C2的极坐标方程中，令θ＝0，得其极坐标为D(2，0)． …4分

（Ⅱ）不妨设A(ρA，β)，B(ρB，β)，则|AB|＝|ρA－ρB|＝ρB＝2cosβ，

由△ABD的面积S＝|AB|?|OD|sinβ＝sin2β＝，

解得β＝或． …10分

（24）解：

（Ⅰ）因为|x－3|＋|x－5|≥|(x－3)－(x－5)|＝2，

当3≤x≤5时取等号，

故m≥2，即t＝2． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c＝max{，}．

则c2≥?＝≥1，

等号当且仅当＝＝1，即a＝b＝1时成立．

因为c＞0，所以c≥1． …10分

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