江西省红色七校2016届高三第一次联考文科数学试题

（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学，会昌中学）

命题，审题： 莲花中学 任弼时中学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一. 选择题.( 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}．若x∈M且x?N，则x等于(　　)

A．1 B．－1 C．0 D．2

2． 设A＝，B＝{x∈R|ln(1－x)≤0}，则“x∈A”是“x∈B”的(　　)

A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充要条件 D．必要不充分条件

3．定义在R上的函数g(x)＝ex＋e－x＋|x|，则满足g(2x－1)

A．(－∞，2) B．(－2，2) C．(－1，2) D．(2，＋∞)

4．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是(　　)

A.  B.  C.  D. 

5．如图所示是一个算法的程序框图，

当输入x的值为－8时，输出的结果是(　　)

A．－6 B．9 C．0 D．－3

6．若不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)[:学高考

A．(－4，2) B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－2，0)

7．点M，N分别是正方体ABCD - A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图、左视图、俯视图依次为(　　)

A．①③④ B．②④③ C．①②③ D．②③④

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y－3)2＝1相切，则双曲线的离心率为(　　)

A. 2 B．. C  D．3

9．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织的布的尺数为(　　)

A.
B.
C.
D.

10．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面的方程为(　　)

A． x＋2y＋z－2＝0 B．x＋2y＋z＋2＝0 C．x＋2y－z－2＝0 D．x－2y－z－2＝0

11．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)

A． f(1)

12．如图，已知在四棱锥
中，底面
是菱形,
底面
，

，则四棱锥
的体积
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.[:.]

13．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．

14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，三边a，b，c成等差数列，且B＝
，则|cos A－cos C|的值为________．

15．如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为，点P为椭圆在第一象限内的一点．若
，则直线PF1的斜率为________．

16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx＋2m和曲线C：y＝有两个不同的交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈，则实数m的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. （本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．

(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；

(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率．

18．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.

(1)求角A的大小；

(2)求函数y＝2sin2B＋cos的值域．

19.（本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，

折起后使∠ADC的余弦值为.

（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；

（2）若
是
的中点，求三棱锥
的体积。

20．（本小题满分12分）椭圆
的上顶点为
是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到

直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由.（12分）

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间[k，k＋3]上的最大值为M(k)，最小值为m(k)，记g(k)＝M(k)－m(k)，求函数g(k)在区间[－3，－1]上的最小值．

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
切
于点
，直线
交
于
，
两点，
，垂足为
．

（I）证明：
；

（II）若
，
，求
的直径．

[:.]

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，圆C的参数方程为
(t为参数).在极坐标系（与平面直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点O为极点，以
轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为

(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.[:]

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
=

（Ⅰ）证明：

2；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围.

江西省红色七校2016届高三第一次联考文科数学试题

参考答案

选择题：1-12:BBCBC;ADDAC;DA

填空题：13.
14.
15.
16.

解答题：

17，（1）解：从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的学校数目为3,2,1.

( 2 )解：在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则抽取2名教师的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝＝.

18，解：(1)由m∥n，得(2b－c)cos A－acos C＝0，

∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，

2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B.

在锐角三角形ABC中，sin B＞0，∴cos A＝，故A＝.

(2)在锐角三角形ABC中，A＝，

故＜B＜.∴y＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B

＝1＋sin 2B－cos 2B＝1＋sin.∵＜B＜，∴＜2B－＜.

∴＜sin≤1，＜y≤2.∴函数y＝2sin2B＋cos的值域为.

19，(1)证明　在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5，∴OA＝4，OD＝3，翻折后变成三棱锥A－BCD，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos ∠ADC＝25＋25－2×5×5×＝32，

在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC，

又AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD，又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.

(2)
是
的中点，所以
到平面
的距离相等，

20，解(1)因为
得

，

故所求椭圆方程

(2)当直线
斜率存在时，设直线
代入椭圆方程得

假设存在

对任意
恒成立

当直线
斜率不存在时，经检验符合题意

综上可知存在两个定点
使它们到直线距离之积等于1.

21，解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，－1)

－1

(－1，a)

a

(a，＋∞)



f′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)


[:.]

极大值



极小值





故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．

(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜.所以，a的取值范围是.

(3)a＝1时，f(x)＝x3－x－1.由(1)知f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当k∈[－3，－2]时，k＋3∈[0,1]，－1∈[k，k＋3]，f(x)在[k，－1]上单调递增，在[－1，k＋3]上单调递减．因此，f(x)在[k，k＋3]上的最大值M(k)＝f(－1)＝－，而最小值m(k)为f(k)与f(k＋3)中的较小者．由f(k＋3)－f(k)＝3(k＋1)(k＋2)知，当k∈[－3，－2]时，f(k)≤f(k＋3)，故m(k)＝f(k)，所以g(k)＝f(－1)－f(k)．而f(k)在[－3，－2]上单调递增，因此f(k)≤f(－2)＝－，所以g(k)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.

②当k∈[－2，－1]时，k＋3∈[1,2]，且－1,1∈[k，k＋3]．

下面比较f(－1)，f(1)，f(k)，f(k＋3)的大小．由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f(－2)≤f(k)≤f(－1)，f(1)≤f(k＋3)≤f(2)．又f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，从而M(k)＝f(－1)＝－，m(k)＝f(1)＝－.所以g(k)＝M(k)－m(k)＝.综上，函数g(k)在区间[－3，－1]上的最小值为.

22．（本小题满分10分）

【解析】

：（I）先证
，再证
，进而可证
；（II）先由（I）知
平分
，进而可得
的值，再利用切割线定

理可得
的值，进而可得
的直径．

试题解析：（I）因为DE为圆O的直径，则

，

又BC
DE，所以
CBD+
EDB=90°，从而
CBD=
BED.

又AB切圆O于点B，得
DAB=
BED，所以
CBD=
DBA.

（II）由（I）知BD平分
CBA，则
,又
，从而
，

所以
，所以
.

由切割线定理得
，即
=6，

故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.

23．（本小题满分10分）解：

（1）消去参数t得,圆的普通方程为
,

由
,得

所以直线l的直角坐标方程为
.

(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即

,解得

24．（本小题满分10分）解：

（I）由
，有
.

所以
≥2.

（Ⅱ）

当时a＞3时，
，由
＜5得3＜a＜
。

当0＜a≤3时，
=
，由
＜5得
＜a≤3.

综上，a的取值范围是（
，
）.

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