江西省红色七校2016届高三第一次联考理科数学试题

（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学，会昌中学）

命题、审题： 莲花中学 任弼时中学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.

1．已知集合
，
，则A∩B=( )

A．
B．
C．
D．

2．复数
的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

3. 等比数列
的前n 项和为S n， 若
,
则
为( )

A.
　　 B.
　 　 C.
　　 　D.

4．定义在R上的函数g(x)＝ex＋e－x＋|x|，则满足g(2x－1)

A．(－∞，2) B．(－2，2) C．(－1，2) D．(2，＋∞)

5．
的展开式中的有理项且系数为正数的项有( )

A．1项 B．2项 C．3项 D．4项

6.某几何体的正视图和侧视图如图所示（方格长度为1个单位），则该几何体的体积不可能是( )

A.
B.
C.
D.

7．执行下面框图，则输出
的结果是( )

A．
B．
C．
D．

8．在下列命题中：

①若向量
、
共线，则向量
、
所在的直线平行；

②若向量
、
所在的直线为异面直线，则向量
、
不共面；

③若三个向量
、
、
两两共面，则向量
、
、
共面；

④已知空间不共面的三个向量
、
、
，则对于空间的任意一个向量
，总存在实数x,y,z，使得
；其中正确的命题的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

9.函数
的图像与函数
的图像（ ）

A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴

C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴

10．不等式组
表示的点集为M，不等式组
表示的点集记为N，在M中任取一点P，则
的概率为( )

A．
B．
C．
D．

11、已知双曲线
与抛物线
有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若
，则点F到双曲线的渐近线的距离为( )

A．
B．
C．
D．

12．对一定义域为D的函数
和常数
，若对任意正实数
，
使得
恒成立，则称函数
为“敛
函数”，现给出如下函数：

①
②
③
④

其中为“敛1函数”的有( )

A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).

13.过函数f（x）＝
－
＋2x＋5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围

是________________.

14、已知函数
的图象关于直线
对称，则
的值为 .

15.已知函数
，若方程
有且仅有两个不等的实根，则实数
的取值范围是 .

16．已知抛物线
上一点
，若以
为圆心，
为半径作圆与抛物线的准线
交于不同的两点
，设准线
与x轴的交点为A，则
的取值范围是 .

三、解答题：(本大题共6小题，共70分).

17．在
中，角
对应的边分别是
,已知
.

(I)求角
的大小；

(II)若
,
,求△ABC的面积
.（12分）

18．如图所示的多面体中，
⊥平面
，
⊥平面ABC，

，且
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
⊥
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值. （12分）

19．学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.

（2）从该班中任意选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
.

（3）从该班中任意选两名学生，用
表示

这两人参加活动次数之和，记“函数
在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率. （12分）

20.椭圆
的上顶点为
是C 上的一点，以AP 为直径的圆经

过椭圆C 的右焦点F ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到

直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由. （12分）

21.已知函数
.

(1)若
的切线方程;

(2) 若函数
在
上是增函数,求实数m的取值范围;

(3) 设点
满足
,判断是否存在点P (m,0),使得以AB为直径的圆恰好过P点，说明理由. （12分）

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，
切
于点
，直线
交
于
，
两点，
，垂足为
．

（I）证明：
；

（II）若
，
，求
的直径．（10分）

23. 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系
中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

已知曲线C
：
（t为参数）， C
：
（
为参数）。

（I）化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（II）若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线
距离的最小值. （10分）

24.选修4—5：不等式选讲

已知函数
.（Ⅰ）求函数
的最小值
；

（Ⅱ）若正实数
满足
，求证：
. （10分）

江西省红色七校2016届高三第一次联考

数学 (理科)

参考答案

CACCB DBBAD AC

13.
14.
15.
16.

17． (I)由
，得

，即
…………………………2分

解得
……………………………………………………4分

因为
，所以
……………………………………………………………6分

(II)由又由正弦定理，得
…………8分

由余弦定理，得
,又
，所以
…………10分

……………………………………………12分

18．（I）
是
的中点
．

又

平面
，
．
平面

∴
…………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）以
为原点，分别以
,
为x，y轴，如图建立坐标系
，

则
……………………6分

设平面
的一个法向量
，则

取
所以
………………………………………………8分

设平面
的一个法向量
，

则
取
，所以
………………………10分

……………………………………………………11分

所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
. …………………………12分

19．（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：

,故
…………………………………………4分

(2) 从该班中任选两名学生，用?表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则?的可能取值分别为：0 ，1，2，…………………………………………………………………………5分

P(? = 0)= , P(? = 1)=
= ,P(? = 2)=
= , ……7分

从而?的分布列为：

?

 0

 1

 2





P

 







E? = 0?+ 1? + 2? = .…………………………………………………………8分

(3) 因为函数
在区间(3,5)上有且只有一个零点，且

所以
在区间(3,5)为增函数, …………………………………………………………9分

即
,
…………………………………………………………10分

又由于?的取值分别为：2,3,4,5,6,故
, ………………………………………11分

故所求的概率为：


…………………………………12分

20．(1)因为
得
……………2分

，
…………………………………………………3分

………………………………………………………………4分

故所求椭圆方程
…………………………………………………………………5分

(2)当直线
斜率存在时，设直线
代入椭圆方程得

…………………………………………………………6分

………………………………………………………………………7分

假设存在

对任意
恒成立

…………………………………………………………………9分

当直线
斜率不存在时，经检验符合题意……………………………………………………11分

综上可知存在两个定点
使它们到直线距离之积等于1.……………12分

21．
，………………………………………1分

，所以切线方程为
；………………………………………………3分

（2）
，……4分

若函数
在
上是增函数，则
在
上恒成立，有
在
上恒成立，…………………………………………………………………………5分

设
，
，
在
是减函数，在
是增函数，所以
的值域为
，即
在
上恒成立。…………………………7分

，解得
……………………………………………………………8分

（3） 依题意得
……………………………9分