2015年8月

绵阳南山中学2015年秋季2016届零诊考试

数 学 试 题（文科）

命题范围：绵阳市统考一诊内容 命题人：张家寿 审题人：王怀修

一、选择题：每小题5分，共12小题，共60分.

1. 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的真子集共有 (　　)．

A.1个 B.3个 C.5个 D.7个

2. 已知函数
，则
(　　)

3. 公比为2的等比数列
的各项都是正数，且
，则
等于(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

4．曲线
在点
处的切线方程为(　　)

A．
B．
C．
D．

5. 已知函数
，
，则下列结论中正确的是(　　)

A．函数
的最小正周期为2

B．函数
的最大值为1

C．将函数
的图象向右平移
单位后得
的图象

D．将函数
的图象向左平移
单位后得
的图象

6．如下左图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t＞0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是(　　)．

7. 下列判断正确的是(　　)

A. 若命题
为真命题，命题
为假命题，则命题“
”为真命题

B. 命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

C. “
”是“
”的充分不必要条件

D. 命题“
”的否定是“
”

8. 设
，且
则
+ln2的单调减区间为(　　)

A.
B.
C.
D.

9. 定义一种运算
，若函数
，
是方程
的解，且
，则
的值(　　)

A．恒为负值 B．等于
C．恒为正值 D．不大于

10. 设实数x，y满足
，则
的取值范围是(　　)

　 A.
B.
C.
D.

11. 已知
是
内一点，且
，
，若
、
、
的面积分别为
、
、
，则
的最小值是(　　)

A. 18 B. 16 C. 9 D. 4

12. 已知正实数
，则
的取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13．设
是定义在R上的奇函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为 .

14．已知
有两个极值点
、
，且
在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则
的取值范围是 .

15．已知
中，内角
的对边的边长为
，且
,则

的值为 .

16. 已知定义在
上的奇函数
满足
，且
时，
. 现有以下甲，乙，丙，丁四个结论：

甲：
；

乙：函数
在
上是增函数；

丙：函数
关于直线
对称；

丁：若
，则关于
的方程
在
上所有根之和为-8.

则其中正确结论的序号是______________．

三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，请判定△ABC的形状；

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

18．（10分）已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，前4项和为40.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.

19．（12分）已知二次函数
为偶函数，且集合A=
为单元素集合.

（1）求
的解析式;

（2）设函数
，若函数
在
上单调，求实数
的取值范围．

20．（12分）南山中学近几年规模不断壮大，学生住宿异常紧张，学校拟用1000万元购一块空地，计划在该空地上建造一栋至少8层，每层2000平方米的学生电梯公寓．经测算，如果将公寓建为x(x≥8)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．

(1)写出拟修公寓每平米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；

(2)该公寓应建造多少层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

（结果精确到1元）

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

21. （12分）已知函数f(x)＝.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的周期和单调区间；

(3)若关于x的不等式f(x)≥m2-m有解，求实数m的取值范围．

22. （14分）已知函数

（1）求函数
的单调区间和最小值；

（2）若函数
在
上是最小值为
，求
的值；

（3）当
（其中
=2.718 28…是自然对数的底数）.

零诊参考答案(数文)

一、选择题： BDBCC CDB A A AD

二、填空题：13.
; 14.
; 15. 0; 16. 甲,丁

三、解答题

17.解：(1)∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，

∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．

(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.

由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.

∴ab＝4(舍去ab＝－1)，

∴S＝absinC＝×4×sin＝

18.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

则∴∴an＝a1qn－1＝3n－1.

∴等比数列{an}的通项公式为an＝3n－1.

(2)设等差数列{bn}的公差为d，则T3＝b1＋b2＋b3＝3b2＝15，∴b2＝5.

又∵a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)，

即(3＋5)2＝(1＋b1)(9＋b3)，64＝(6－d)(14＋d)．∴d＝－10或d＝2.

∴(舍去)或

∴Tn＝nb1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n.

19. （1）

（2）若
在
上单调递增，则
在
上恒成立，

即
在
上恒成立，即

若
在
上单调递减，则
在
上恒成立，

即
在
上恒成立，

即

20. 解(1)依题意得y＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋
( x≥8，x∈N* )；

(2)提示：均值不等式失效，求导或由x=10时，y=1540；x=11时，y=1543.

故该公寓应建造10层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为1540元．

21. 解：(1)由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，∴f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．

∴f(x)的定义域关于原点对称．当x≠＋，k∈Z时，

f(x)＝＝＝＝3cos2x－1，

∴f(x)是偶函数．

(2)∵f(x)＝3cos2x－1＝3×－1＝＋cos2x.∴T＝＝π，∴f(x)的最小正周期为π.

增区间为

，减区间为

(3)当x≠＋(k∈Z)时，0≤cos2x≤1且cos2x≠，∴－1≤3cos2x－1≤2且3cos2x－1≠，

∴f(x)的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}．由关于x的不等式f(x)≥m2-m有解得2≥m2-m

解得－1≤m≤2

22.解：（1）

同理，令
∴f(x)单调递增区间为
，单调递减区间为
.

由此可知

（2）

当
时，F（x）在
上单调递增，
，
，舍去；

当
时，
在
单调递减，