湖南师大附中2016届高三第一次月考

理科数学试题

时量 120分钟 总分 150分

选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分）

1、已知
为虚数单位，复数
满足
，则
=（ ）

A.25 B.
C.
D.1

2、已知
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3、设直线
与圆C：
相交于点
,
两点，
，则实数
的值为( )

A．1 B．2 C．1或2 D．3

命题
：“非零向量
，若
，则
的夹角为钝角”，命题
：“对函数
，若
，则
为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（ ）

B.
C.
D.

5、 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥
，该四棱锥的体积为
，则该半球的体积为。

A.
B.
C.
D.

6、在二项式
的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含
项的系数是（ ).

A．－56 B．－35 C．35 D．56

7、已知数列
是等差数列，数列
是各项为正数的等比数列，且公比
，若
，则（ ）

A.
B.
C.
D.
或

8、“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

9、如图，已知圆M的半径为2，点P与圆心M的距离为4，正方形ABCD是圆M的内接四边形，E，F是边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，
的取值范围是

B.

C.
D.

10、若实数
满足的约束条件
，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为
，则
在点
处取得最大值的概率为（ ）

A．
 B．
 C．
 D．


11、已知
是
的三个内角，给出下列三组数据

①
； ②
；

③
；

分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是

.①② B.①③ C.②③ D.①②③

12、已知
是定义在R上的函数
的导函数，且
，则
，
，
的大小关系为

B.
C.
D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

13、已知定义在
上的函数
（
）为偶函数，则不等式
的解集为

14、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 .

15、已知方程
有两个不同的根
，且
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
的值等于

16、设双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，过F作
轴的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.，若D到直线BC的距离等于
，则双曲线的离心率为 　　　

解答题（本题共6个小题，满分70分）

17、（满分10分）已知函数
为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为
.

（I）求函数
的单调区间；

（II）若
，求
的值.

18、（满分12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元. 用
表示经销一辆汽车的利润.

（1）求下表中的
值；

（2）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率
；

（3）求
的分布列及数学期望
.

付款方式

分1期

分2期

分3期

分4期

分5期



频 数

40

20



10







19、（满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（I）求证：
平面
；

（II）设
为直线
与平面
所成的角，求
的值；

（Ⅲ）设
为
中点，在
边上求一点
，使
平面
，求
的值．

20、（满分12分）已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为
，
为其前
项和，且满足
；数列
满足
，
为数列
的前n项和．

（1）求
和
；

（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

21、（满分12分）如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左，右顶点分别为
，
为椭圆的左右焦点，若直线
上有且仅有一个点
，使得
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）设圆
的圆心
在x轴上方，且圆
经过椭圆
两焦点．点
，
分别为椭圆
和圆
上的一动点．若
时,
取得最大值为
，求实数
的值．

（满分12分）已知函数
（其中
为参数）.

求函数
的单调区间；

若对任意
，都有
成立，求实数
的取值集合；

证明：
（其中
，
为自然对数的底数）

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