2015年5月高三模拟考试

文科数学试卷

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟http://www.xjktyg.com/wxc/

2.请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答题

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的http://www.xjktyg.com/wxc/

1．设全集
，集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知
为虚数单位，复数
，则

A.
B.
C.
D.

3.已知
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
值为

A.3 B.
C.
D.

4. 下列命题中正确的是

A.
B.

C.
D.

5．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究

人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体

脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论

中正确的是

A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%

B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%

C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%

D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%

6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

7.下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中
为三个评阅人对该题的独立评分，
为该题的最终得分，当
时，
等于

A．11 B．10 C．8 D．7

8.若
，则方程
的实数根的个数为

A.2 B.3 C.4 D.5

9．已知椭圆
与抛物线
有相同的焦点
，
为原点，点
是抛物线准线上一动点，点
在抛物线上，且
，则
的最小值为

10．在
中，点
满足
，当
点在线段
上移动时，若
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100分)

二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在题中的横线上http://www.xjktyg.com/wxc/

11．在极坐标系中，已知直线
过圆
的圆心，则
=___________．

12．已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为　　　　　.

13.已知函数
，,则
在点
处的切线方程为__

14．如图，在
中，
是
边上一点，
，则
的长为

15.欧阳修《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”。可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是是直径为
的圆角，中间有边长为
的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为
的球）正好落入孔中的概率是_____（不作近似值计算）。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知等差数列
，
为其前
项和，

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前
项和
。

17（本小题满分12分）

某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有
名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的
两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中
组一同学的分数已被污损，但知道
组学生的平均分比
组学生的平均分高
分．

（1）若在
组学生中随机挑选
人，求其得分超过
分的概率；

（2）现从
组这
名学生中随机抽取
名同学，设其分数分别为
，求
的概率．

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，

,
,
,
分别为棱
的中点．

（1）求证:
∥平面
；

（2）若异面直线
与
所成角为
时，求三棱锥
的体积．

19. （本小题满分13分）

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

20．（本小题满分13分）

已知中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为
|OB|．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C1方程为：
+
=1（m＞n＞0），椭圆C2方程为：
+
=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=alnx+
+1．

（1）当a=﹣
时，求f（x）在区间上的最值；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+
ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．

2015年5月高三模拟考试数学参考答案

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

D

C

B

D

C

C

A

C



二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分http://www.xjktyg.com/wxc/把答案填在题中的横线上

11． 1 12．5 13. x-y+1=0 14．
15.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.

16．解：（1）由
公差

6分

（2）
，

。 12分

17.解：（Ⅰ）A组学生的平均分为
（分）， 1分

∴
组学生平均分为86分，设被污损的分数为x，由
，

∴
， 3分

故
组学生的分数分别为93，91，88，83，75， 4分

则在
组学生随机选1人所得分超过85分的概率
． 6分

（Ⅱ）A组学生的分数分别是94，88，86，80，77，

在A组学生中随机抽取2名同学，

其分数组成的基本事件
有(94,88),(94,86),(94,80),

(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共10个 8分

随机抽取2名同学的分数
满足
的事件有

(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6个． 10分

故学生得分
满足
的概率
． 12分

18．（Ⅰ）证明：取
的中点
,连接
,

因为
分别为棱
的中点，

所以
∥
,
∥
,
,

平面
,

平面
,所以平面
∥平面
， 4分

又
平面
,

所以
∥平面
. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
异面直线
与
所成角,

所以
, 8分

因为三棱柱
为直三棱柱，所以
平面
,所以
平面
,
,

,
,

由

,

平面
, 10分

所以

. 12分

19.解：设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得

AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα

＝5－4cosα， 4分

于是，四边形OACB的面积为

S＝S△AOB＋ S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2

＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)

＝sinα－cosα＋＝2sin＋. 10分

因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，

即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大． 13分

20 解：（1）设椭圆C1方程为：
（a＞b＞0），

∴直线AB方程为：
， 1分

∴F1（﹣1，0）到直线AB距离为d=
=
， 2分

化为a2+b2=7（a﹣1）2，

又b2=a2﹣1，

解得：a=2，b=
． 4分

∴椭圆C1方程为：
． 5分

（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：
． 6分

①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，

易求得|MN|=2
． 7分

②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．

将y=kx+m代人椭圆C1方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

∴△=48（4k2+3﹣m2）=0，即m2=4k2+3，（*） 8分

记M、N两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．

将y=kx+m代人椭圆C2方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，

∴x1+x2=﹣
，x1x2=
，

∴|x1﹣x2|=
=
=
，

∴|MN|=
=
=
11分

∵3+4k2≥3，∴
，即
，

综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为
． 13分

21. 解：（Ⅰ）当a=﹣
时，
，∴
．

∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1． 2分

∴f（x）在区间上的最值只可能在f（1），f（
），f（e）取到，

而f（1）=
，f（
）=
，f（e）=
，

∴f（x）max=f（e）=
，f（x）min=f（1）=
． 5分

（Ⅱ）
，x∈（0，+∞）．

当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减 6分

②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； 7分

③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得
，

∴
或
（舍去）

∴f（x）在（
，+∞）单调递增，在（0，
）上单调递减； 9分

综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当﹣1＜a＜0时，f（x）在（
，+∞）单调递增，

在（0，
）上单调递减；

当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（
）

即原不等式等价于f（
）＞1+
ln（﹣a） 11分

即aln
+
﹣
+1＞1+
ln（﹣a）

整理得ln（a+1）＞﹣1

∴a＞
﹣1 12分

又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（
﹣1，0）． 13分

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