湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试（二）

理科数学试题

命题人：周敏 尤文娟 审题人：丁全华

考试时间： 2015年5月17日

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，则
（ ）

A．
　　　B.5 　　　 　 C．
D．

2．已知集合
,则下列结论正确的是（）

A.
B.

C.
D.

3.在区间
上随机取一个数
,则
的值介于
与
之间的概率为 ( )

A. B. C. D.

4. 某流程图如图，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　）

A．
B．

C．
D．

5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以
平面为投影面，则得到主视图可以为（ ）

A. B. C. D.

6. 若
，其中t∈（0，π），则t=( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知等差数列
的首项为
，公差为
，其前n项和为
，若直线
与圆
的两个交点关于直线
对称，则数列
的前10项和=( )A．
B．
C．
D．2

8. 设
表示不超过
的最大整数（如
，
）。对于给定的
，定义
，
，则当
时，函数
的值域为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知椭圆

上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆离心率
的取值范围为（ ） A.
B.
C.
D.

10．已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）

11. 已知箱子里装有4张大小、形状都相同的卡片，标号分别为1,2,3,4.从箱子中任意取出一张卡片，记下它的标号
，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的标号
，则使得幂函数
图像关于
轴对称的概率为

12. 已知
，
，
，点C在
内且
,

若
则
=

13．若

，则
的取值范围是　 　．

14. 给定正奇数
，数列
：
是1，2，…，
的一个排列，定义E（
，…，
）
为数列
：
，
，…，
的位差和.（I）当
时，则数列
：1，3，4，2，5的位差和为 ； （II）若位差和E（
，
，…，
）=4，则满足条件的数列
：
，
，…，
的个数为 ；(用
表示)

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15. 如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED=　　．

16. 已知直线
：
（
为参数，
为
的倾斜角），以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.若直线
与曲线
相切，则
的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17. 已知函数f(x)＝sin(2x＋)(Ⅰ)若
求
的值； (Ⅱ)在△ABC中，若
,∠B=
，AC=2，求△ABC的面积.

某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第
年（今年为第一年）的利润为
万元（
为正整数）；设从今年起的前
年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
万元,进行技术改造后的累计纯利润为
万元（需扣除技术改造资金）（1）求
，
的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

19. 如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，PC＝2（1）试确定点F的位置，使得EF∥平面PDC;（2）若BF＝BP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值.

20. 根据以往的经验，某工程施工期间降水量的数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

降水量X

X<300

300≤X<700

700≤X<900

X≥900



工期延误天数Y

0

2

6

10



历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

21. 已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录于下表中：

x

－2

2



9



y



﹣

－1

3



（1）求椭圆C1和抛物线C2的标准方程．（2）过椭圆C1右焦点F的直线
与此椭圆相交于A，B两点，若点P为直线x＝4上任意一点， ①试证：直线PA，PF，PB的斜率成等差数列. ②若点P在X轴上，设
，求
取最大值时的直线
的方程.

22. 定义在
上的函数
满足
，
.

⑴ 求函数
的解析式；

⑵ 求函数
的单调区间；

⑶ 如果
、
、
满足
，那么称
比
更靠近
. 当
且
时，试比较
和
哪个更靠近
，并说明理由.

襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试（二）

理科数学参考答案

1. A 2. D 3. D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10. B

11.
12.
13.
14. （I）4;（II）

15.
16.

17.解：(1) ∵

∴

………………… …6分

(2) f(A)＝sin(2A＋)＝ ∵0＜A＜π ∴＜2A＋＜π ,

∴2A＋＝或2A＋＝π，即A＝或Ａ＝…………………………8分

当A＝时，C＝π，a＝2sinA＝·2＝－1 ,

S△ABC＝absinC＝ ………10分

当A＝时，C＝， S△ABC＝ab＝2 …………………………………………12分

解：（1）依题意，有

?

（2）考查
而函数
d在
?上为增函数，当n=1或2或3时，
；?当n≥4时，
∴仅当n≥4时，
∴至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

19. 解(Ⅰ)取F为线段BP中点，取PC的中点为O，连FO，DO……………2分

∵F、O分别为BP、PC的中点，∴FOBC∴ABCD为平行四边形，ED∥BC且DE＝BC

∴FO∥ED且DE＝FO∴四边形EFOD是平行四边形…………………3分

∴EF∥DO……………………………4分

∵EF平面PDC∴EF∥平面PDC……………5分

（Ⅱ）以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系…6分

∵D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(2，0，3)，P(－2，2，0)，A(0，0，3)…………7分

∵设F(x，y，z)，＝(x－2，y，z－3)＝＝(－，，－1)∴F(，，2)………8分

＝(，，－1)，设平面PBC的法向量＝(a，b，c)

则
，……………………………9分

令y＝1，可得＝(，1，0)……………………………………10分

cos<，>＝＝ ……………………………………………………11分

∴直线AF与平面PBC所成角的正弦值为………………………12分

20. 解：（1）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）-P（X＜300）=0.7-0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）-P（X＜700）=0.9-0.7=0.2，P（X≥900）=1-0.9=0.1X的分布列为：
D（Y）=（0-3）2×0.3+（2-3）2×0.4+（6-3）2×0.2+（10-3）2×0.1=9.8 ∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8 。（2）P（X≥300）=1-P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）-P（X＜300）=0.9-0.3=0.6 由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=
。

21. 解：（1）设抛物线方程为y2=mx，分别将四个点代入解得m=
，m=1，m=
，m=1，

故抛物线方程为y2=x；即点（2，－
）和（9,3）在抛物线上。因此（－2，