项城三高2015年高考全真模拟考试

文科数学试卷

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

1、集合
，则集合C中的元素个数为（ ）

A．3 B．4 C．11 D．12

2、复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、已知向量
，若
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知命题
：
，
，命题
：
，
，则下列说法中正确的是（ ）

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是假命题

5、若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6、已知
若
的最小值为-6，则实数
的值为（ ）

A．
B．6 C．3 D．

7、执行程序框图,若输入
的值为
,则输出的
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8、如图是2014年北京大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出

的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平

均数和众数依次为（ ）

A.85，84 B.84，85

C.86，84 D.84，86

中，

则
的形状一定是（ ）

A.等边三角形 B.不含
的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

函数

的最小正周期为
，为了得到
的图象，只需将函数

的图象（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

中心在原点，焦点在
轴上的双曲线
的离心率为
，直线
与双曲线
交于
两点，线段

中点
在第一象限，并且在抛物线
上，且
到抛物线焦点的距离为
，则直线
的

斜率为（ ）

A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

12、函数
，则关于
的方程
的实根个数不可能为（ ）

A.
个 B.
个 C.
个 D.
个

第Ⅱ卷

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足
为锐角的概率为_______。

14、甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，

甲说：丙没有考满分；

乙说：是我考的；

丙说：甲说真话．

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_________。　

15、如图半球内有一内接正四棱锥
，该四棱锥的体积为
，则该半球的体积为 。

16、已知数列
的前n项和
，若不等式
对
恒成立，

则整数
的最大值为 。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17、在
中，内角
的对边分别为
已知
．

（I）求
的值； （II）若
，
，求
的面积
。

18、如图，已知
平面
，四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
，

，
，
．

（I）求证：
平面
；

（II）求证：
平面
；

（III）求三棱锥
的体积．

在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某

校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法

从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

等级

优秀

合格

尚待改进



等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15



5



频数

15

3





 （1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下边
列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超

男生

女生

总计



优秀









非优秀









总计









 过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”．

参考公式：
，

其中
．



















 临界值表：

已知椭圆
的两个焦点
,
,动点P在椭圆上，且使得
的

点P恰有两个，动点P到焦点
的距离的最大值为
。

(I)求椭圆
的方程；

（II）如图，以椭圆
的长轴为直径作圆
，过直线
上的动

点T作圆
的两条切线，设切点分别为A,B，若直线AB与椭圆

交于不同的两点C,D，求
的取值范围。

21、已知函数
为自然对数的底数）

（I）求函数
的最小值；

（II）若
≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22、选修4－1：几何证明选讲

　　如图所示，
为圆
的直径，
，
为

圆
的切线，
，
为切点。

　 （Ⅰ）求证：
；

　 (II) 若圆
的半径为2，求
的值.

23、选修4－4：坐标系与参数方程

已知圆
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

(II) 已知
，圆
上任意一点
，求△
面积的最大值.

24、选修4-5：不等式选讲

已知函数
且
的解集为

（Ⅰ）求k的值；

(II) 若
是正实数，且
，求证：
。

文科数学试卷参考答案

C 解析：
，故选C。

2、D 解析：根据复数的运算可知
，所以复数的坐标为
，所以正确选项为D。

3、B 解析：
，
。

4、C 解析：
为真命题.对
，当
时，
，故为假命题，
为真命题.所以C正确。

5、C 解析：几何体是三棱柱被截去了一个三棱锥得到的，
，故选
。

6、C 解析：因为
，故
。可知
在
处取得最小值，故
，解得
。

7、B 解析：第一次运行时，
；第二次运行时，
；

第三次运行时，
；第四次运行时，
；

第五次运行时，
；…，以此类推，

直到
，程序才刚好不满足
，故输出
.故选B。

8、A 解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，平均数为
，众数为84. 故选A。

9、D解析：∵sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A-B）=1-2cosAsinB，

∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，∴sin（A+B）=1，

∴A+B=90°，∴△ABC是直角三角形。

10、C 解析：因为函数
的最小正周期为
，所以
，则

，则用
换x即可得到
的图像，所以向左平移
个单位长度，则选C。

11、D

12、A 解析：因为
时，
=1或
=3或
=
或
=-4，则当a=1时
或1或3或－4,又因为
,则当
时只有一个
=－2与之对应其它情况都有两个
值与之对应，所以此时所求方程有7个根，当1＜a＜2时因为函数
与y=a有4个交点，每个交点对应两个
，则此时所求方程有8个解，当a=2时函数
与y=a有3个交点，每个交点对应两个
，则此时所求方程有6个解，所以B,C,D都有可能，则选A。

13、
解析：要使
为锐角，则点M位于正方形内且位于以AB为直径的半圆外；因为半圆的面积为
，正方形的面积为
，所以满足
为锐角的概率
。

14、甲 解析：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲。

15、

解析：设球的半径为
，则棱锥的高
，底面正方形中有
，所以其体积
，则
，于是所求半球的体积为
。

16、4 解析：当
时，
得
，
；当
时，
，两式相减得
，得
，所以
。又
，所以数列
是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即
。因为
，所以不等式
，等价于
。记
，
时，
。所以
时，
。

所以
，所以整数
的最大值为4。

17、解：（Ⅰ）由正弦定理，得
所以

即
,

化简得
,即
因此

（Ⅱ）由
的
由
及

得
，解得
，因此

又
所以
，因此

18、解：（I）因为四边形
为矩形，所以
平面
，
平面
，

所以
平面
．

（II）过
作