2015年全国统一考试

项城三高2015届高三全真模拟试卷

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。

5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.已知集合
,
,则
（ ）

A．
B.
C.
D.

2.设复数
（
为虚数单位）,则
对应的点位于（ ）

A．第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





3.841

5.024

6.635

7.879

10.83



3.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设
：“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算的结果,认为
成立的可能性不足1%,那么
的一个可能取值为（ ）. (参考数据)

A. 6.635 B. 7.897 C. 5.024 D. 3.841

4.已知向量
若
与
平行,则实数
的值是（ ）

A．－2 B．0 C．2 D．1

5.已知实数x，y满足ax

A．
B.
C．
D．

6.已知等比数列
的第
项是二项式
展开式的常数项,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7.将函数
的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是（ ）．

A.
B.
C.
D.

8.执行如图的程序框图,若输入
,则输出
（ ）．

A.
B.
C.
D.

9.已知实数
满足
,则目标函数
的最大值为 （ ）

A.-4 B. 1 C. 2 D. 3

10.已知三棱锥O—ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上,∠ABC=120°,AB=BC=1，三棱锥O—ABC的体积为
，则球O的表面积是（ ）

A．64
B．16
C．

D．544http://www.gkstk.com/

11.已知双曲线
的左、右焦点分别为
,过点
作直线
轴交双曲线
的渐近线于点
．若以
为直径的圆恰过点
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．

12.数列
共有12项，其中
，且
,则满足这种条件的不同数列的个数为

A .84 ? B .168 C. 76???? D .152

第II卷

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若命题
，则命题
的否定
是 　.

14.一个几何体的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图

是一个圆内切于一个正三角形,则该几何体的侧视图的面积为　____ 　.

15.计算
,可以采用以下方法：

构造恒等式
，

两边对
求导,得
，

在上式中令
,得
，

类比上述计算方法,计算
．

16．设
是定义在
上的偶函数,
,都有
,且当
时，
，若函数

在区间
内恰有三个不同零点,则实数
的取值范围是 　_____ 　 .

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在
中.已知
.

（I）求sinA与角B的值；

（II）若角A,B,C的对边分别为
的值.

18.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.

（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（II）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）直三棱柱
中，
，E，F分别是
的中点，
为棱
上的点.

（I）证明：
；

（II）已知存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
,请说明点D的位置.

20. (本小题满分12分)椭圆
的上顶点为
是
上的一点,以
为直径的圆经过椭圆
的右焦点
．

（I）求椭圆
的方程；

（II）动直线
与椭圆
有且只有一个公共点，在
轴上是否存在两个定点,它们到直线
的距离之积等于1？如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由．

21.（本小题满分12分）已知函数
.

（I）求函数
的单调递减区间；

（II）若关于x的不等式
恒成立,求整数a的最小值；

（III）若正实数
满足
,证明
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22. （本小题满分10分）如图在
中，
，
是
的平分线，
交
于点
，圆
是
外接圆.

（I）求证:
是圆
的切线；

（II）如果
,求
的长.

23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l:(t为参数，α≠kπ，k∈Z)经过椭圆C:（φ为参数）的左焦点F，

（I）求m的值；（II）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|×|FB|的最小值。

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－a|.

（I）若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a、m的值；

（II）当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)

2015全国统一考试理科数学参考答案

CBAC ADDA CADA
6 +

17. 解：（Ⅰ）
，
，又
，
.

，且
，
.……6分

（Ⅱ）由正弦定理得
，
，另由
得
，解得
或
（舍去），
，
.……12分

18. 解：（Ⅰ）设事件
为“两手所取的球不同色”，则
. ……5分（Ⅱ）依题意， 左手所取的两球颜色相同的概率为
，

右手所取的两球颜色相同的概率为
，………7分

的可能取值为0,1,2．

，
，

， ……10分

Ｘ

0

1

2



Ｐ









所以Ｘ的分布列为：

. ……12分

19. （Ⅰ）证明：

，
∥
,
, 又
,
,
面
， 又
面
,

,以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系
,

则
,
,
,
,
设
，
, 且
,

即：
,
,

,

,
. ………6分

（Ⅱ）设面
的法向量为
，
，

则
， ，
， 即：

令
,
. 由题可知面
的法向量
, ……9分

平面
与平面
所成锐二面的余弦值为
.

, 即：
,

或
. 又

,

舍去.
点
为
中点. ………12分

20.解：（Ⅰ）
，由题设可知
，得
………1分

又点P在椭圆C上，

解得，

故所求椭圆的方程为
………5分

（Ⅱ）当直线
的斜率存在时，设其方程为
，代入椭圆方程，消去y，

整理得
（﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又
，所以
得
………8分

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立,

所以，
解得，
当直线
的斜率不存在时，经检验符合题意.

总上，存在两个定点
，使它们到直线
的距离之积等于1 ……12分

21. 解：（Ⅰ）
， 由
，得
，

又
，所以
．所以
的单调减区间为
． 　 ……3分

（Ⅱ）令
，

所以
．

当
时，因为
，所以
．所以
在
上是递增函数，

又因为
，

所以关于
的不等式
≤
不能恒成立 ．……5分

当
时，
，令
，得
．

所以当
时，
；当
时，
，

因此函数
在
是增函数，在
是减函数．

故函数
的最大值为
．……7分

令
，因为
，
，因为
在
是减函数．

所以当
时，
．所以整数
的最小值为2． ……9分

（Ⅲ）由
，即
，

从而
令
，则由
得，
，可知，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．所以
，

所以
，又
，因此
成立． ……12分

因为
是圆
半径
的外端，所以
是圆
的切线....5分

23．解：(Ⅰ)∵椭圆C:的普通方程为＋＝1，……1分，∴F(－1，0)

∵直线l:的普通方程为y＝tanα(x－m)，……3分.

∵α≠kπ，k∈Z∴tanα≠0 ……4分

∵0＝tanα(－1－m)∴m＝－1………5分

(Ⅱ)将直线的参数方程代入椭圆C的普通方程＋＝1，并整理，

得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tsosα－9＝0………6分

设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|×|FB|＝|t1t2|………8分

＝ 当sinα＝±1时|