绵阳市高2012级第二次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

①当
，即
时，
，

即
．

②当
即
时，

，此时
.

将
，
代入检验正确.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．-160 13．
14．
15．①③

15．提示：③ 法一：
和
是(-1，1)上的“接近函数”，

结合图形，
使
，

令
，
，

即
时，
；
时，
．

所以
．

法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点
，当直线和圆在
的“竖直距离”为1 时，
．

④若
与
是
上的“远离函数”，

即
，

．

令
，则
在
递减，在
递增，

∴
；

令
，
，易得
在
递增，在
递减，∴
，∴
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A，则
为所选取的人中没有1人为“满意观众”，

∴ P(A)=1-P(
)=1-
=1-
=
，

即至少有1人为“满意观众”的概率为
． ………………………………4分

(Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为
，即从观看此影片的“满意观众”的概率为
，同理，不是“满意观众”的概率为
．…6分

由题意有ξ=0，1，2，3，则

P(ξ=0)=
=
，P(ξ=1)=
=
，P(ξ=2)=
=
，

P(ξ=3)=
=
，

∴ ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P











 ……………………………………………………………10分

∴ ξ的数学期望Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=2．………………………12分

17．解：(Ⅰ) 如图，连结AC、BD交于O，连结OE．

由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为△PAC的中位线，

∴ EO//PA．

∵ EO面EBD，PA面EBD，

∴ PA//面EBD．………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由已知PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD，PD⊥CD．

如图，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系．

设AD=2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，
=(2，2，-2)，
(2，0，0)．…………………………………6分

设F(x0，y0，z0)，
，则由
=(x0，y0，z0-2)，

得(x0，y0，z0-2)=λ(2，2，-2) ，即得

于是F(2λ，2λ，2-2λ)．

∴
=(2λ，2λ-1，1-2λ)．

又EF⊥PB，

∴
，解得
．

∴
，
． ………………………………………8分

设平面DAF的法向量是n1=(x，y，z)，

则
即
令z=1，得n1=(0，-2，1)．

又平面PAD的一个法向量为n2=(0，1，0)， ………………………………10分

设二面角P-AD-F的平面角为θ，

则cosθ=

，

即二面角P-AD-F的余弦值为
． ………………………………………12分

18．解：(Ⅰ)由余弦定理得
，

则
． …………………………………………………4分

(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B)，

于是由已知sinB+sinC=
得
，

即
，

将
，
代入整理得
．①………7分

根据
，可得
．

代入①中，整理得8sin2B-4
sinB+5=0，

解得
． ……………………………………………………………10分

∴ 由正弦定理
有
． ………………12分

19．解：(Ⅰ) ∵二次函数
的对称轴为x=
，

∴ an≠0，
，整理得
，………………………2分

左右两边同时乘以
，得
，即
(常数)，

∴
是以2为首项，2为公差的等差数列，

∴
，

∴
． ……………………………………………………………5分

(Ⅱ)∵
， ①

， ②

①-②得：

，

整理得
．…………………………………………………………8分

∵
=
>0，

∴ 数列{Sn}是单调递增数列．………………………………………………10分

∴ 要使Sn<3成立，即使
<3，整理得n+2>
，

∴ n=1，2，3．………………………………………………………………12分

20．解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
，焦点坐标为(c，0)，

由题知：
结合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2，

∴ 椭圆E的标准方程为
． ………………………………………4分

(Ⅱ) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)，

由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，

联立方程

消去，得
，

于是x1+x2=
，x1x2=
．① ………………………7分

又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，

则
可转化为
，

整理得：
． …………………………………………10分

将①代入可得

， …… 12分

∴
，

消去参数得
，即H点恒在直线
上． ………13分

21．解：(Ⅰ) ∵
，x∈(0，+∞)， ………………………1分

∴ a=2时，
=0，

∴ 解得x=
，x=-1(舍)．

即
的极值点为x0=
． ……………………………………………………3分

(Ⅱ)
．

（1）
时，
在
上是减函数，在
上是增函数;

时， 对二次方程ax2+x-1=0，Δ=1+4a，

（2）若1+4a0，即
时，ax2+x-1<0，而x>0，故
<0，

∴
在(0，+∞)上是减函数．

（3）若1+4a>0，即a>
时，ax2+x-1=0的根为
，

①若
a<0，则
>
>0，

∴ 当x∈(
，
)时，ax2+x-1>0，即
>0，得
是增函数；

当x∈
， (
，+∞)时，ax2+x-1<0，即
<0，得
是减函数．

②若a>0，
<0<
，

∴ 当x∈(0，
)时，ax2+x-1<0，即
<0， 得
是减函数；

当x∈(
，+∞)时，ax2+x-1>0，即
>0得
是增函数．

∴ 综上所述，
时，
在
上是减函数，在
上是增函数

当
时，
在(0，+∞)上是减函数；

当

当a>0时，
在(
，+∞)上是增函数，在(0，
)上是减函数．…………………………………………………………………………7分

(Ⅲ)令
，x>0，

于是
．

令
，则
>0，

即p(x)在(0，+∞)上是增函数．

∵ p(x)=-(a+1)<0，而当x→+∞时，p(x)→+∞，

∴x0∈(0，+∞)，使得p(x0)=0．

∴ 当x∈(0，x0)时，p(x)<0，即
<0，此时，h(x)单调递减；

?当x∈(x0，+∞)时，p(x)>0，即
>0，此时，h(x)单调递增，

∴
=
．①

由p(x0)=0可得
，整理得
，②…………10分

代入①中，得
=
，

由x∈(0，+∞)，恒有
≥
，转化为
≥0，③

因为a>0，③式可化为
≥0，整理得
≤0，

解得
≤x0≤1．

再由x0>0，于是0

由②可得
．

令
=
，则根据p(x)的单调性易得
在
是增函数，

∴
<
≤
，

即0<
≤e，

解得a≥
，即a的最小值为
．……………………………………14分