丰台区2014~2015学年度第一学期期末练习高三数学（文科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标是

(A)（?1，1） (B)（?1，?1） (C)（1，?1） (D)（1,1）

2．等差数列
的前项和为
，如果
，
，那么
等于

(A)8 (B)15 (C)24 (D)30

3．命题
，则
是

(A)
(B)

(C)
(D)

4．已知
，
，
则a，b，c的大小关系是

(A) a > b > c (B) c > b > a (C) c > a > b (D) a > c > b

5．甲、乙两位同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设
分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，
分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有

(A)
(B)

(C)
(D)

6．已知函数
的图象如图所示，那么函数
的图象可能是

7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是

8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是

(A)
(B)
(C)
(D)

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知集合
，那么A∩B= ________．

10．已知向量
，且
，那么实数
______；
_______.

11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是____.

12．如果变量x，y满足条件
且
，那么的取值范围是_____.

13．已知圆
，那么圆心坐标是_______；如果圆C的弦AB的中点坐标是（?2，3），那么弦AB所在的直线方程是__________.

14．设函数
与
是定义在同一区间
上的两个函数，如果函数
在区间
上有
个不同的零点，那么称函数
和
在区间
上为“k阶关联函数”.现有如下三组函数：

①
；

②
；

③

其中在区间[0，4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是_______（写出所有满足条件的函数组序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）

已知函数
.

（I）求
的值；

（II）求函数
在区间
上的最大值和最小值，及相应的的值．

16．（本小题共13分）

某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示.

（I）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；

（II）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；

（III）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）．

（注：将频率视为相应的概率）

17．（本小题共14分）

如图，在四棱锥
中，底面ABCD为菱形，
60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA =SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．

（I）求证：PQ //平面SAD；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；

（Ⅲ）如果SA =AB =2，求三棱锥
的体积．

18．（本小题共13分）

已知函数
.

（I）求函数
的极小值；

（II）过点
是否存在曲线
的切线，请说明理由.

19．（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的一个顶点为A（?2，0），离心率为
.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）直线l过点A，过O作l的平行线交椭圆C于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线l相切，求l的方程.

20．（本小题共13分）

已知数列
的前n项和
满足
.

（I）如果
，求数列
的通项公式；

（II）如果
，求证：数列
为等比数列，并求
；

（III）如果数列
为递增数列，求
的取值范围.

丰台区2014-2015学年度第一学期期末练习

2015. 01

高三数学（文科）答案及评分参考

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

 4

5

 6

 7

 8



答案

A

B

B

 D

 B

 C

 A

 C



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．
10．2；
11．4 12．

13．
；
14．①③

注：第10，13题第一个空2分；第二个空3分

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．解：（I）

所以
．……………………………………7分

（另解）
……2分

（II）因为
,

所以
．

所以，当
，即
时，
；

当
，即
时，
．…………………13分

所以当
时，
；当
时，
．

16．解：（I）

估计这名学生参加考试的成绩低于90份的概率为

………3分

（II）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：

，代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：
．

设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，
．

答：学生代表M、N至少有一人被选中的概率为
。

（III）样本的中位数落在分组区间[70，80]内.

………3分

17．（I）证明：取SD中点F，连结AF，PF

因为P，F分别是棱SC，SD的中点，

所以FP//CD，且
．

又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，

所以AQ//CD，且
．

所以FP//AQ，且
．

所以AQPF为平行四边形．

所以PQ//AF．

又因为
平面SAD，
平面SAD，

所以PQ//平面SAD．………5分

（II）证明：连结BD，

因为
中
，点E棱AD的中点，

所以
．

又平面
平面ABCD，

平面
平面
，

平面SAD，

所以
平面ABCD，

所以
．

因为地面ABCD为菱形，E，Q分别是棱AD，AB的中点，

所以
，EQ//BD．

所以
，因为
，所以
平面SEQ．

………11分

（III）解：因为菱形ABCD中，
，
，

所以
．

因为
，E是AD的中点，所以
．

由（II）可知
平面ABC，

所以三棱锥S-ABC的体积
．………14分

18．解：（I）函数的定义域为．

因为
，

所以
．

令
，则
．



0









0









极小值





所以
．………6分

（II）假设存在切线，设切点坐标为
，

则切线方程为

即

将
代入得
．

方程
有解，等价于过点
作曲线
的切线存在．

令
，所以
．

当
时，
．

所以当
时，
，函数
在
上单调递增；

当
时，
，
在
上单调递减．

所以当
时，
，无最小值．

当
时，方程
有解；

当
，方程
无解．

综上所述，当
时存在切线；当
时不存在切线．………13分

19．解：（I）依题意，椭圆的焦点在x轴上，

因为
，
，

所以
，
．

所以椭圆的方程为
．……………………………………4分

（II）依题意，直线l的斜率显然存在且部位0，设l的斜率为k，

则可设直线l的方程为
，

则原点O到直线l的距离为
．

设
，
，

则
消y得
．

可得