绵阳市高2012级第二次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

①当
，即
时，
，

即
．

②当
即
时，

，此时
.

将
，
代入检验正确.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．8.5 13．
14．
15．6

15．提示：

，

同理：
=
，在椭圆上，所以
，

∴

=

．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是 “满意观众”，

∴ P=
，

即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为
． ……4分

(Ⅱ)设本次符合条件的满意观众分别为A1(9.2)，A2(9.2)，A3(9.2)，A4(9.2)，B1(9.3)，B2(9.3)，其中括号内为该人的分数． ……………………………6分

则从中任意选取两人的可能有 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种，……………………8分

其中，分数不同的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8种， ………………………………10分

∴ 所求的概率为
． ………………………………………………………12分

17．解：(Ⅰ)∵ Sn=
，

∴ a1=S1=λ-1，a2=S2-S1=2λ-1-(λ-1)=λ，a3=S3-S2=4λ-1-(2λ-1)=2λ，

……………………………………2分

∵ {an}是等比数列，

∴ a22=a1a3，即λ2=2λ(λ-1)，解得λ=0(不合题意，舍去)，或λ=2． ……4分

∴ 在{an}中，a1=1，公比q=
=2，

∴ an=1×
=
． …………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a2=2，a3=4，于是
，

∴
． ……………………………………8分

∵
≤x≤
，

∴ 0≤
≤
，…………………………………………………………10分

∴ 0≤
≤4，

即
在
上的最大值为4． ………………………………………12分

18．解：(Ⅰ)由余弦定理得
，

则
． …………………………………………………4分

(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B)，

于是由已知sinB+sinC=
得
，

即
，

将
，
代入整理得
．①………7分

根据
，可得
．

代入①中，整理得8sin2B-4
sinB+5=0，

解得
． ……………………………………………………………10分

∴ 由正弦定理
有
． ………………12分

19．解：(Ⅰ)如图，连结BC1．

∵ E，F分别是AB，AC1的中点，

∴ EF// BC1．

∵ BC1面BB1C1C，EF面BB1C1C，

∴ EF∥平面BB1C1C．………………4分

(Ⅱ) 如图，连结A1E，CE．

∵ AB// A1B1，AB=2A1B1，E为中点，

∴ BE//A1B1，且BE=A1B1，即A1B1BE是平行四边形，

∴ A1E//B1B，且A1E=B1B．

由四边形BB1C1C是长方形，知C1C//B1B，且C1C=B1B，

∴ A1E//C1C，且A1E=C1C，即C1A1EC是平行四边形，

∴ A1C1//EC．…………………………………………………………………7分

∵ B1B⊥BC，B1B⊥AB，

∴ B1B⊥面ABC，

∴ B1B⊥EC． …………………………………………………………………9分

由CA=CB，得EC⊥AB，

∴ EC⊥平面ABB1A1．………………………………………………………10分

∴ A1C1⊥平面ABB1A1．

∵ A1C1平面C1AA1，

∴ 平面C1AA1⊥平面ABB1A1． ……………………………………………12分

20．解：(Ⅰ)由已知可设圆E的圆心(0，b)，则半径为b．

∵ 圆心到直线x-y=0的距离d=
=
，

解得b2=4，b=-2(舍去)，b=2，

∴圆E的标准方程为x2+(y-2)2=4． ……………………………………… 5分

(Ⅱ) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)，

由已知直线MN的斜率一定存在，设为k，则其方程为y=kx+3k，

联立方程

消去，得
，

于是x1+x2=
，x1x2=
．① ………………………8分

又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，

则
可转化为
，

整理得：
． …………………………………………10分

将①代入可得

， …… 11分

由
，可解得
，……………………………………12分

由
=
=-3+
，于是可得

∴

21．解：(Ⅰ) ∵
，………………………2分

∴ 当a=2时，
．

由已知有m，n是方程x2-3x+2=0的两个根，

∴ m=1，n=2．…………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由已知有m，n是方程x2-(a+1)x+2=0的两个根，

∴ Δ=(a+1)2-8>0，m+n=a+1>0，mn=2>0． ………………………………5分

∴

． …………………………………7分

∵ (a+1)2>8，

∴

，即
的取值范围为(-∞，
)．

…………………………………………………8分

(Ⅲ)证明：

，

又
，所以m=
，

于是，
． …………………………………10分

由 02，解得n>
．

∵ a≥
，

∴ m+n=a+1≥
，即
+n≥
，

可解得0

令
=t，则n2=2t，且t≥e，
，