梅州市2015届高三3月总复习质检（一模）

数学理试题

本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。

选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1、设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{3，4，5}，则下图中的阴影部分表示的集合为

　A、{4}　　 B、{5}　　　 C、{1，2}　 　D、{3，5}　

2、
是虚数单位，若
，则
等于

　A、1　　　　B、
　　　C、
　　　D、

3、下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是

　A、
　　　　　B、

　C、
　　　　D、

4、已知实数
满足
，则
的最小值为

　A、2　　　　B、3　　　　　C、4　　　　　D、5

5、对任意非零实数a，b，若
的运算法则如右图的框图所示，则
的值等于

　A、
　　　　B、
　　　　C、
　　　　D、

6、若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于

　A、30　　　　　B、12　　　　　C、24　　　　　D、4

7、动圆M经过双曲线
的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是

　A、
＝8
　 B、
＝－8
　C、
＝4
　 　D、
＝－4

8、在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”， 类似的，我们在平面向量集
上也可以定义一个称“序”的关系，记为“＞＞”.定义如下：对于任意两个向量

当且仅当“
”或“
”.按上述定义的关系“＞＞”，给出如下四个命题：①若

；②若
；③若
，则对于任意
；④对于任意向量
.其中正确命题的个数为

　A、1个　　　　B、2个　　　　　C、3个　　　　　D、4个

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9、已知等比数列{
}的公比为正数，且
，则
＝＿＿＿

10、已知
分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若
，A＋C＝2B，则sinA＝＿＿＿＿

11、以F1（－1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点M（1，－
）的椭圆的标准方程为＿＿＿

12、二项式
的展开式中，含
的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）

13、已知函数
，若关于x的不等式
＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是＿＿＿＿

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A（2，
）到直线l：
的距离为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线一点，且DF＝CF＝
，AF：FB：BE＝4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为＿＿＿

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知
（
）的周期开为
，且图象上的一个最低点为M（
，－1）。

（1）求f（x）的解析式；

（2）已知
，求
的值。

17．（本小题满分12分）

　　东海学校从参加2015年迎新百科知识竞赛的同学中，选取40名同学，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥
，F是
的中点。

（1）求证：EF∥平面
；

（2）当四棱锥
的体积取最大值时，求平面
与平面
夹角的余弦值。

19．（本小题满分14分）

数列{
}满足
。

　（1）求数列{
}的通项公式；

　（2）设数列{
}的前n项和为Sn，证明

20．（本小题满分14分）

已知抛物线C：
的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴于点D，且有丨FA|＝|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形。

(1) 求C的方程,(2) 若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E,　　①证明直线AE过定点，并求出定点坐标 ；

②△ABE的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知函数
，设
。

（1）若g（2）＝2，讨论函数h（x）的单调性；

（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点
。

①求b的取值范围；②求证：

梅州市高三总复习质检试卷（2015.03）

数学（理科）参考答案与评分意见

本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。

选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

DCDAB CBC

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．
. 10．
. 11．
. 12．10. 13．
.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．1. 15．
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（1）由
的周期为
，

则有
， 得
. ………1分

所以
，因为函数图像有一个最低点
，
，

所以
, 且
， ……………………3分

则有
, …………………………… 4分

解得
， 因为
，所以
. ………5分

所以
，
. ……………………………6分
………7分

,
, 又
,

. ………9分

………11分

=
………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）设分数在
内的频率为
，根据频率分布直方图，

则有
，

可得
，所以频率分布直方图如图所示． …………2分

…………3分

（2）平均分：

… 5分

（3）学生成绩在
的有
人，

在
的有
人，并且
的可能取值是0，1，2． ……6分

，
；

. …………9分

所以
的分布列为

0

1

2













 …………10分

所以
． ………12分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：取
中点
，连接
.

则由中位线定理可得，
∥
，
，…1分

同理
∥
，
．

所以
∥
，

，

从而四边形
是平行四边形， …………3分

所以
∥
．

又

面
，

平面
，

所以
∥平面
． …………5分

（2）在平面
内作
于点
.

平面


.

又
，故
底面
，

即
就是四棱锥
的高． …………7分

由
知，点
和
重合时，

四棱锥
的体积取最大值． …………8分

分别以
所在直线为
轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则
，

． ………9分

设平面
的法向量为
，

由
,得
，

可取
． …………11分

平面
的一个法向量
． …………12分

故
， …………13分

所以平面
与平面
夹角的余弦值为
． …………14分

(连
,可以证明
即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)

19.（本小题满分14分）

解： (1)
， ………… 2分

所以
． ………… 3分

所以
是首项为
，公差为
的等差数列． ………… 4分

所以
所以
． ………… 6分

(可用观察归纳法求,参照法一给分)

（2）　设
, ………… 7分

则
. ………… 8分

函数
为
上的减函数， ………… 9分

所以
，即
, ………… 10分

从而
………… 11分

所以
………… 12分

所以
… 13分

得
. ………… 14分

(可用数学归纳法证明,参照法一给分)

20．（本小题满分14分）

解：（1）由题意知
，设
，则
的中点为
，

因为
，由抛物线的定义得：
，

解得
或
（舍去）. …………2分

由
,可得
，解得
.

所以抛物线
的方程为
. …………4分

（2）①由（1）知
.

设