丰台区2014~2015学年度第一学期期末练习高三数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合
，那么A∩B=

(A)
(B)
(C)
(D)

2．已知向量
，
，则：“
且
”是“
”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查，假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是

(A)两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同

(B)两组同学的样本平均数一定相等

(C)两组同学的样本标准差一定相等

(D)该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同

4．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，
，
，
，那么a等于

(A)l (B)2 (C)4 (D)l或4

5．已知函数
的图象如图所示，

那么函数
的图象可能是

6． 2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表，其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有

(A)
种 (B)
种 (C)
种 (D)
种

7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是

8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是

(A)
(B)
(C)
(D)

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数
的值是________．

10．等差数列
的前n项和为
，如果
，
，那么
等于_____.

11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是____.

12．若变量x，y满足条件
且
的最大值是10，则k的值是_____.

13．过点
作圆
的切线，切点为N，如果
，那么切线的斜率是________；如果
，那么
的取值范围是________.

14．设函数
的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意
，都有

，则称函数
是“似周期函数”，非零常数T为函数
的“似周期”。现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”
的“似周期”为?1，那么它是周期为2的周期函数；

②函数
是“似周期函数”；

③函数
”是“似周期函数”；

④如果函数
是“似周期函数”，那么“
”．

其中真命题的序号是________（写出所有满足条件的命题序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）

已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期；

（II）求函数
在区间
上的最大值和最小值及相应的的值．

16．（本小题共13分）

某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（I）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上的人数记为X，求X的分布列及数学期望．

（注：频率可以视为相应的概率）

17．（本小题共14分）

如图，四棱锥
中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA =AB =AC =2，
．

（I）求证：CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为
，求
的值．

18．（本小题共13分）

已知函数
.

（I）求函数
的极小值；

（II）如果直线
与函数
的图象无交点，求k的取值范围.

19．（本小题共14分）

已知椭圆
的右焦点
，点
在椭圆C上.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为
（
为实数），求
的值.

20．（本小题共13分）

已知数列
满足
.

（I）求证：当
时，数列
为等比数列；

（II）如果
，求数列
的前n项和
；

（III）如果
表示不超过
的最大整数，当
时，求数列
的通项公式.

丰台区2014-2015学年度第一学期期末练习2015.01

高三数学（理科）答案及评分参考

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

D

C

B

B

A

D



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分

9．
10．15 11．20

12．5 13．
；
14．①③④

注：第13题第一个空2分；第二个空3分。

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

15．解：

(I)

．………………………………………………………………6分

(II)因为

所以
．

所以：当
，即
时，
；

当
，即
时，
．…………………………………13分

所以当
时，函数有最大值是2；当
时，函数有最小值是
．

16．解：(I)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：

………2分

(II)设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．

答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4．

……………6分

(III)由(II)知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为
，

X可能的取值是0,1,2,3．

X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











……………12分

所以
．

……………13分

(或
，所以
．)

17．证明：(I)连结AC．

因为为在
中，

，
，

所以
，

所以
．

因为AB//CD，

所以
．

又因为
地面ABCD，

所以
．

因为
，

所以
平面PAC．

……………4分

(II)如图建立空间直角坐标系，

则
．

因为M是棱PD的中点，

所以
．

所以
，
．

设
为平面MAB的法向量，

所以
，

即
，

令
，则
，

所以平面MAB的法向量
．

因为
平面ABCD，

所以
是平面ABC的一个法向量．

所以
．

因为二面角
为锐二面角，

所以二面角
的大小为
．……………4分

(III)因为N是棱AB上一点，所以设
，
．

设直线CN与平面MAB所成角为，

因为平面MAB的法向量
，

所以
．

解得
，即
，
，所以
．

……………14分

18．解：(I)函数的定义域为．因为
，

所以
．

令
，则
．



0









0









最小值





所以当
时函数有极小值
．

……………6分

(II)函数
．

当
时
，
，

所以要使
与
无交点，等价于
恒成立．

令
，即
，

所以
．

①当
时，
，满足
与
无交点；

②当
时，
．

而
，
，

所以
，此时不满足