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2015届高三下学期期初开学联考

数 学 试 卷2015-03-07

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

已知集合
，则
▲ ．

已知
，那么复数
▲ .

从
这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．

已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则
等于▲ ．

5．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．

6.如图所示的流程图，最后输出的n的值是 ▲ ．

7.已知向量a，b，满足|a|＝1，| b |＝，a＋b＝(，1)，则向量

a＋b与向量a－b的夹角是 ▲ ．

8.如图，正三棱锥P－ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别

在棱PA，PB，PC上，满足PD＝PF＝1，PE＝2，则三棱锥P – DEF

的体积是 ▲ ．

9.在
中，
，
点是内心，且
，

则
▲ ．

10.已知锐角A，B满足tan(A＋B)＝2tanA，则tanB的最大值是 ▲ ．

11.如图，点
分别是椭圆

的上顶点和右焦点，直线
与椭圆交于另一点
，过中心
作直线
的平行线交椭圆于
两点，若
则椭圆的离心率为 ▲ .

12.已知圆
：
，
为坐标原点，若正方形
的一边
为圆
的一条弦，则线段
长度的最大值是 ▲ .

13.已知函数
，若存在实数
，满足
，其中
，则
取值范围是 ▲ ．

14.设实数a，x，y，满足则xy的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：

15.（本小题满分14分）

设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c. 已知C＝，acosA=bcosB．

（1）求角A的大小；

（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．

16.（本小题满分14分）

在正三棱柱
中，点
是
的中点，
．

（1）求证：
∥平面
；

（2）试在棱
上找一点
，使
．

17.（本小题满分14分）

如图，2015年春节，摄影爱好者
在某公园
处，发现正前方
处有一立柱，测得立柱顶端
的仰角和立柱底部
的俯角均为
，已知
的身高约为
米（将眼睛距地面的距离按
米处理）

(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆
绕中点
在
与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为
的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．

（1）求a，b的值．

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．

（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；

（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．

19. (本题满分16分)

设函数
.

（1）若
=1时，函数
取最小值，求实数
的值；

（2）若函数
在定义域上是单调函数，求实数
的取值范围；

（3）若
，证明对任意正整数
，不等式
都成立.

20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．

(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；

(2)确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．

高三数学参考答案

一、填空题

1．
2．
3．
4．
5．40 6．4 7．π 8．
9．
10．  11.
12．
13．（21,24） 14．[－，＋]

二、解答题

15.（本小题满分14分）

解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，

所以有A＝B或A＋B＝． ………………… 2分

又因为C＝，得A＋B＝，与A＋B＝矛盾，所以A＝B，

因此A＝． …………………4分

（2）由题设，得

在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；

在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)

＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，).

……………… 6分

所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).

……………… 10分

因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，

即2sin(α＋)∈(，2]．

于是，当α＋＝，即α＝时，PM＋PN取得最大值2．

…………… 14分

16．（1）证明：连接
，交
于点
, 连接
.

∵
、
分别是
、
的中点，

∴
∥
． ………3分

∵
平面
，
平面
，

∴
∥平面
． ………6分

（2）
为
的中点． ………7分

证明如下：

∵在正三棱柱
中，
，∴四边形
是正方形．

∵
为
的中点，
是
的中点，∴
， ………9分

∴
，
．

又∵
，

，∴
． ………11分

∵
是正三角形，
是
的中点，

∴
．

∵平面
平面
, 平面
平面
，
平面
，

∴
平面
．

∵
平面
，

∴

． ………13分

∵
，

∴
平面
．

∵
平面
，

∴
． ………14分

18.（本小题满分16分）

解（1）由题设可知a＝2，e＝＝，所以c＝，故b＝1．

因此，a＝2，b＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 ＋y2＝1．

设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．

(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．

联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得

x2－2mx＋m2－1＝0．解之得x1＝， x2＝，

从而有，x1＋x2＝， x1· x2＝，

而y1＝x1－m，y2＝x2－m，

因此，∣AB|＝＝＝

＝·，

点O到直线l的距离d＝，

所以，S△OAB＝×|AB|×d＝×|m|，

因此，S2△OAB＝( 5－m2)×m2≤·()2＝1．

………………… 6分

又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．

所以，当5－m2＝m2，即m2＝， m＝±时，S△OAB取得最大值1．

………………… 8分

(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).

将直线l与椭圆C的方程联立，即．

将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，

x1＋x2＝，x1·x2＝ ．

………………… 10分

所以，

PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2

＝ （*）. …………………14分

因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，

所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±．

所以，k的值为±. …………………16分

19.解:（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),

对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,

解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；

（2）∵
又函数f(x)在定义域上是单调函数，

∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,

即b≥-2x2 -2x =
恒成立,由此得b≥
;

若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.

综上所述，实数b的取值范围是
.

（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，

则h/(x) = - 3x2 +2x -
，

∴当
时，h/(x)＜0所以函数h(x)在
上是单调递减.

又h(0)=0，∴当
时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.

故当
时,有f(x) ＜x3..

∵
取
则有

∴
,故结论成立。

20解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得

(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，

因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． …………2分

因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．…4分

经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．

（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，

即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ……6分

所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②

②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ …………8分

所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④

④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)

即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列， ………10分

因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

所以an＝ …………12分

要使数列{an}是递增数列，须有

a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，

即a＜12－2a，

3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，

3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，

解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列． ………16分

综上所述，对任意正整数c，存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p，使得

ap＝c. ………………… 16分