安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.[来源:gkstk.Com]

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.[来源:学优高考网gkstk]

1．若复数
（
）对应的点在虚轴上，则
的值是

A.
B.
C.
D. 15

2．设抛物线
上的一点
到
轴的距离是4，则点
到该抛物线焦点的距离为

A.3 B.4 C.5 D.6

3．下列命题是假命题的是

A.
，

B.
，使得函数
是偶函数

C.
，使得

D.
，使
是幂函数，且在
上递减

4．设函数
的图像在点
处切线的斜率为
，则函数
的部分图像为

5．由直线
及曲线
所围成的封闭的图形的面积为

A.
B.
C.
D.

6．已知函数
，
，
，则
的最小值等于

A.
B.
C.
D.

7．已知数列
是等差数列，
，
，设
为数列
的前
项和，则

A.
B.
C.
D.

8．已知
、
为平面向量，若
与
的夹角为
，
与
的夹角为
，则

A.
B.
C.
D.

9．已知
、
是双曲线
(
)的左、右焦点，点
关于渐近线的对称点恰好落在以
为圆心，
为半径的圆上，则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

10．定义在R上的函数
满足
，当
时，
函数
．若
，
，不等式
成立，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知直线
，
，若
，则
________．

12．设
,在约束条件
下,目标函数
的最大值等于
,则

_________．

13．执行如图所示的程序框图，则输出
的值为 ．

14．已知定义在R上的奇函数
，当
时，
．若关于
的不等式
的解集为
，函数
在
上的值域为
，若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 ．

15．已知曲线
：
在点

（
）处的切线
的斜率为
，直线
交
轴，
轴分别于点
，
，且
．给出以下结论：

①
；

②当
时，
的最小值为
；

③当
时，
；

④当
时，记数列
的前
项和为
，则
．

其中，正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ)讨论函数
在
上的单调性；

(Ⅱ)设
，且
，求
的值．

17.（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，已知
，

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围.

19.（本小题满分13分）

设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
且
恰好是等比数列
的前三项．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前
项和为
,若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
：
的焦距为
，且经过点
．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；[来源:学优高考网gkstk]

(Ⅱ)
是椭圆
与
轴正半轴的交点, 椭圆
上是否存在两点
、
，使得
是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分13分）[来源:gkstk.Com]

已知函数
（其中
，
是自然对数的底数，
）．

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)若
恒成立，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)求证：对任意正整数
，都有
．



1-5：BCABB 6-10:ADDCC

11．
12．
13．
14．
15．①③④

16.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)


， 2分

由
得
，

当
即
时，
递增；

当
即
时，
递减；

当
即
时，
递增．

综上，函数
在区间
、
上递增，在区间
上递减． 6分

(Ⅱ)由
，即
，得
， 7分

因为
，所以
，可得
， 9分

则


11分

． 12分

18.（本小题满分12分）

[来源:学优高考网gkstk]

19（本小题满分12分）

(Ⅱ)
，
对
恒成立，
对
恒成立，----9分，

20.（本小题满分13分）

(Ⅰ)由题
解得
，
．

所以椭圆Ω的方程为
． 4分

(Ⅱ)由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于
轴，故可设AM所在直线的方程为
，不妨设
，则直线AN所在的方程为
． 5分

联立方程
消去
整理得
，解得
， 6分

将
代入
可得
，故点

.

所以
． 8分

同理可得
，由
，得
， 10分

所以
，则
，解得
或
． 12分

当AM斜率
时，AN斜率
；当AM斜率
时，AN斜率
；当AM斜率
时，AN斜率
．

综上所述，符合条件的三角形有
个. 13分

21.（本小题满分13分）

解析：(Ⅰ) 当
时，
，
，

当
时，
；当
时，
．

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以函数
在
处取得极小值
，函数
无极大值． 3分

(Ⅱ)由
，
，

若
，则
，函数
单调递增，当x趋近于负无穷大时，
趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，
趋近于正无穷大，故函数
存在唯一零点
，当
时，
；当
时，
．故
不满足条件． 5分

若
，
恒成立，满足条件． 6分

若
，由
，得
，当
时，
；当
时，
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以函数
在
处取得极小值

，由
得
，解得
．

综上，满足
恒成立时实数a的取值范围是
． 8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当
时，
恒成立，所以
恒成立，

即
，所以
， 9分

令
(
)，得
， 10分

则有

，…………11分

所以
，

所以
，即
． 13分

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