湖南师大附中2015届高三月考（五）

数学（理）试题

（考试范围：高中理科数学全部内容）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}．则
=

A．
B．{3}

C．{10} D．{3，4，5，6，7，8，9}

2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是

A．f（x）=
B．f（x）=－x3

C．f（x）=-tan x D．f（x）=

3．已知数列{an}满足an+1= 3an（n∈N*），且a2+a4+a6=9．则log（a5+a7+a9）的值是

A．－5 B．－

C．5 D．

4．某程序的框图如图所示，输入N=5，则输出的数等于

A．
B．

C．
D．

5．某几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．2

6．三个班级分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同班学生排在一起的概率是

A．
B．

C．
D．

7．将函数y=sin
x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是

A．[－1+2k，1+2k]，k∈Z B．[1+4k，3+4k]，k∈Z

C．[－1+4k,1+4k]，k∈Z D．[－l+4k+
，l+4k+
]，k∈Z

8．设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0））的最大值为12，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．4

9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且
，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若
，则x的取值范围是

A．（0，1） B．（0，
）

C．（－1，0） D．（－
，0）

10．已知斜率为2的直线
与双曲线C：
=l（a>0，b>0）交于A，B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于

A．2
B．2 C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

11．（坐标系与参数方程）若直线
sin
与直线3x+ky=1垂直，则常数k= ．

12．（几何证明选讲）如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4．则AE的长为 ．

13．（不等式选讲）若不等式|x+3|+|x－7|≥a2－3a的解集为R，则实数a的取值范围是 ．

（二）必做题（14～16题）

14．若随机变量
～N（2，1），且P（
>3）=0．158 7，则P（
>1）= ．

15．设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+an（x+2）n．则a0+a1+a2+…+an的值为 ．

16．定义[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[-1，3]=－2．[0．8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x-[x]．

（1）
…+
；

（2）若x∈[0，316]，函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}-1的零点个数为m，则m= ．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）根据空气质量指数AQJ（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

某市2014年11月1日－11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如下条形图：

（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；

（2）在上述30个监测数据中任取2个，设
为空气质量类别颜色为绿色的天数，求
的分布列与数学期望．

18．（本题满分12分）已知函数f（x）=
sin（
），其中常数
>0．

（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为
，求
的值；

（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移
个单位，再向下平移1个单位．得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b>0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

19．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，

∠DAB= 60o，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB= CD=CF．

（1）求证：BD⊥平面AED;

（2）求二面角F－BD－C的余弦值．

20．（本题满分13分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，点（an，Sn）都在函数f（x）=
的图象上．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若bn=log
a2n+1，Tn为数列{bn}的前项和，且
+…+
≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。

21．（本题满分13分）已知两个定点A1（-2，0），A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值
（m≠0）．

（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；

（2）若m=－3，过点F（-l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为Sl，△OED（O为坐标原点）的面积为S2。试问：是否存在直线AB，使得Sl=S2？说明理由。

22．（本题满分13分）已知f（x）=kex－ex2（x∈R），其中无理数e是自然对数的底数。

（1）若k=l，求f（x）的图象在x=l处的切线
的方程;

（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，
，求实数k的取值范围；

（3）若k依序取值I，
，…，
（n∈N*）时，分别得到f（x）的极值点对（x1，
），（x2，
），…，（xn，
），其中x1<
（i=1，2，…，n）．

求证：对任意正整数n≥2，有（2－x1）（2－x2）…（2－xn）<
。

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